人工智能数学基础--概率与统计8：一个很有意思的下棋输赢概率问题

Posted 2022-11-04 LaoYuanPython

一、问题

甲、乙二人下象棋，每局甲胜的概率为a，乙胜的概率为b。为简化问题，设没有和局的情况，这意味着a+b=1。设想甲的棋艺高于乙，即a>b。考虑到这个情况，他们商定最终胜负的规则如下：
到什么时候为止甲连胜了三局而在此之前乙从未连胜二局，则甲胜;反之，若到什么时候为止乙连胜了二局而在此之前甲从未连胜三局，则乙胜。

求“甲最终取胜”这个事件A的概率P(A)及“乙最终取胜”这个事件B的概率P(B)。

二、求解甲胜的概率过程

为方便计，分别以E和F表示甲、乙在特定的一局取胜的事件，有P(E)=a，P(F)=b。现考虑“甲取胜”的事件 A，分两种情况：

1. 第一局甲胜而最终甲胜了
   这一情况又可分解为许多子情况:对n=0，1，2，···，甲经过n个“阶段”后才取胜，每个阶段是 EF 或EEF（注意：为了与下一阶段互相独立，一定要确保最后一个是F），然后接着来一个EEE。例如，甲经过3个阶段后获胜的一种可能实战结果为：EEF EFEEF EEE
   即共下了11局甲才获胜，其中第1，2，4，6，7，9，10，11局甲胜，其余乙胜。每个阶段不是EF 就是EEF，这两种情况互斥，又由独立性，知每个阶段的概率为ab+aab=ab(1+a)。
   再由独立性，知“经n个阶段后甲获胜”的概率为。[ab(1+a)]ⁿa³,n可以为0，1，2，···，不同的n 互斥，于是这部分概率总和为
   
   关于这个求和结果不清楚的可以参考《转载：等比数列的求和公式，及其推导过程》算出等比数列和，在利用b=1-a及极限的知识即可求得。
2. 第一局乙胜而最终甲胜了
   既然第一局为F而最终甲胜，则第二局必须是E。故以第二局作起点看，我们回到了情况1，从而这部分的概率为bp，请注意，这里事实上已用了概率的乘法定理：
   P(第一局乙胜且最终甲胜)=P(第一局乙胜)P(第二局甲胜且最终甲胜)
   P(第一局乙胜) = b，P(第二局甲胜且最终甲胜) =p。综合两个情况(它们互斥)，由概率加法定理得：
   

三、求解乙胜的概率过程

求乙胜的概率过程与求甲胜的概率过程类似，不过需要分三种情况：

1. 第一局乙胜，分为n+1个阶段，前n个阶段每个阶段是FEE或FEFE，最后一个阶段是FF，前n个阶段每阶段的概率是a²b（1+b）,最后一阶段是b²，可以求得这种情况的概率为：P(B) = b²Σ（ab+a²b）ⁿ=b²/(1-ab(1+a))；
2. 第一局甲胜，第二局乙胜，这个从第二局开始就是第一种情况，因此其概率为ab²/(1-ab(1+a))；
3. 前两局甲胜，这个从第二局开始就是第二种情况，因此其概率为a²b²/(1-ab(1+a))。

最终乙胜的概率为：（b²+ab²+a²b²）/（1-ab（1+a)）,由于a+b=1，可以计算得到:P(A)+P(B)=1。

四、小结

本文是根据陈希孺版《概率论与数理统计》《第一章事件的概率》结合老猿自己的理解介绍的，大部分内容来自书中原文，但补充了两方面的内容，一是求甲胜的概率的等比数列求和式子的结果的计算原理，二是求乙胜的每种情况的概率计算过程和结果。

这个例子值得细心品味。第一，它提供了一个涉及无限个事件的情况(在甲最终取胜前可以经过任意多的“阶段”)，以及在无穷个事件时使用概率加法定理。第二，本例告诉我们，在面对一个复杂事件时，主要的方法是冷静地分析，以设法把它分拆成一些互斥的简单情况。这里，必须细心确保互斥性又无遗漏，一着不慎，满盘皆非。

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