第十二届蓝桥杯 ——完全平方数

Posted 2022-10-31 业余算法学徒

问题描述
一个整数 $a$ 是一个完全平方数，是指它是某一个整数的平方，即存在一个整数 $b$，使得 $a=b^2$。

给定一个正整数 $n$，请找到最小的正整数 $x$，使得它们的乘积是一个完全平方数。

输入格式
输入一行包含一个正整数 $n$。

输出格式
输出找到的最小的正整数 $x$。

样例输入 1
12

样例输出 1
3

样例输入 2
15

样例输出 2
15

数据范围
对于 $30$% 的评测用例，$1\le n\le 1000$，答案不超过 $1000$。
对于 $60$% 的评测用例，$1\le n\le 10^8$，答案不超过 $10^8$。
对于所有评测用例，$1\le n\le 10^{12}$，答案不超过 $10^{12}$。

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题解一（超时）：暴力枚举

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;

bool check(LL x)

    return (LL) sqrt(x) * (LL) sqrt(x) == x;


int main()

    LL n;
    cin >> n;
    
    for (LL i = 1; i <= n; i ++)
        if(check(n * i))
        
            cout << i << endl;
            break;
        
    
    return 0;

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题解二：分解质因数

解题思路：

• 任意一个正整数都可以被分解成若干个质数乘积的形式，例如 $40=2^3\times 5^1$
• 若一个数是完全平方数，那么其质因子的幂次必须都是偶数，例如 $400=2^4\times 5^2$，因为 $20=2^2\times 5^1$
• 因此若想将 $40$ 改成完全平方数，只需要补上一个 $2$ 和一个 $5$，所以 $X=2\times 5=10$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;

int main()

    LL n;
    cin >> n;
    
    LL ans = 1;
    for (int i = 2; i <= n / i; i ++)
        if(n % i == 0)
        
            int k = 0;
            while(n % i == 0) n /= i, k ++;
            if(k & 1) ans *= i;
        
    
    if(n > 1) ans *= n;

    cout << ans << endl;        
    return 0;

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蓝桥杯C/C++省赛历年题