最优化所需基础知识-第二节:凸集

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了最优化所需基础知识-第二节:凸集相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

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一:直线和线段

直线:设x1x_1x2x_2Rn\\R^n空间中两个不同的点,那么经过这两个点可以确定一条直线

y=θx1+(1θ)x2,θRy=\\theta x_1+(1-\\theta)x_2,\\theta\\in \\R

关于上式可以这样理解,首先将其变形为y=x2+θ(x1x2),θRy=x_2+\\theta(x_1-x_2),\\theta\\in \\R

  • θ(x1x2)\\theta(x_1-x_2)表示方向由x2x_2x1x_1,大小由θ\\theta控制,则yy表示基点x2x_2和它们的和
  • θ=0\\theta=0时,yy就在x2x_2处;当θ=1\\theta=1时,yy就在x1x_1
  • 所以当0θ10 \\leq \\theta \\leq1时,直线就退化为以x1x_1x2x_2为端点的线段

二:仿射集

(1)仿射集定义

仿射集:如果过集合CC中任意两点的直线都在CC内,那么称集合CC是仿射的,也即CC为仿射集。由于前面已经给出了直线的表达式,所以这里可以等价描述为:对于任意的x1,x2Cx_1,x_2\\in CθR\\theta \\in R,都有θx1+(1θ)x2C\\theta x_1+(1-\\theta)x_2\\in C,也即

x1,x2C=>θx1+(1θ)x2C,θRx_1,x_2\\in C =>\\theta x_1+(1-\\theta)x_2\\in C,\\forall\\theta\\in \\R

换言之:CC包含了CC中任意两点的系数之和为1的线性组合

  • 例如:线性方程组Ax=bAx=b的解集χ\\chi是仿射集,因为x1,x2χ(x1x2)\\forall x_1,x_2\\in \\chi(x_1\\not=x_2)均满足θAx1+(1θ)Ax2=b\\theta Ax_1+(1-\\theta)Ax_2=b。反之,任何仿射集均可以表示为某一线性方程组的解集

(2)仿射组合

  • (1)中仿射集的定义只是针对两个点,其实这个定义可以推广至多个点

仿射组合:如果θ1+θ2+...+θk=1\\theta_1+\\theta_2+...+\\theta_k=1,则称θ1x1+θ2x2+...+θkxk\\theta_1x_1+\\theta_2x_2+...+\\theta_kx_k形式的点为x1,x2,...,xkx_1, x_2, ... , x_k的仿射组合。所以,一个仿射集包含任意点的仿射组合,也即若CC是一个仿射集合,有x1,x2,...,xkCx_1, x_2, ... , x_k\\in Cθ1+θ2+...+θk=1\\theta_1+\\theta_2+...+\\theta_k=1

OpenGL第二节:绘制多个颜色四边形

最优化所需基础知识-第五节:分离超平面定理

凸多边形最优三角剖分

凸集,凸函数,凸优化问题。

仿射集与凸集