最优化所需基础知识-第二节:凸集
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了最优化所需基础知识-第二节:凸集相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
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一:直线和线段
直线:设x1和x2为Rn空间中两个不同的点,那么经过这两个点可以确定一条直线
y=θx1+(1−θ)x2,θ∈R
关于上式可以这样理解,首先将其变形为y=x2+θ(x1−x2),θ∈R
- θ(x1−x2)表示方向由x2到x1,大小由θ控制,则y表示基点x2和它们的和
- 当θ=0时,y就在x2处;当θ=1时,y就在x1处
- 所以当0≤θ≤1时,直线就退化为以x1和x2为端点的线段
二:仿射集
(1)仿射集定义
仿射集:如果过集合C中任意两点的直线都在C内,那么称集合C是仿射的,也即C为仿射集。由于前面已经给出了直线的表达式,所以这里可以等价描述为:对于任意的x1,x2∈C及θ∈R,都有θx1+(1−θ)x2∈C,也即
x1,x2∈C=>θx1+(1−θ)x2∈C,∀θ∈R
换言之:C包含了C中任意两点的系数之和为1的线性组合
- 例如:线性方程组Ax=b的解集χ是仿射集,因为∀x1,x2∈χ(x1=x2)均满足θAx1+(1−θ)Ax2=b。反之,任何仿射集均可以表示为某一线性方程组的解集
(2)仿射组合
- (1)中仿射集的定义只是针对两个点,其实这个定义可以推广至多个点
仿射组合:如果θ1+θ2+...+θk=1,则称θ1x1+θ2x2+...+θkxk形式的点为x1,x2,...,xk的仿射组合。所以,一个仿射集包含任意点的仿射组合,也即若C是一个仿射集合,有x1,x2,...,xk∈C且θ第二节 JVM优化应用以及知识总结
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凸多边形最优三角剖分
凸集,凸函数,凸优化问题。
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