AtCoder Beginner Contest 270 EX(期望)
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了AtCoder Beginner Contest 270 EX(期望)相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
题意：n个数ai,和n个计数器ci（初始都为0），每次等概率选一个计数器置0，其他计数器+1，求所有计数器变成ai的期望次数。（a1=0,n<=2e5,ai<=1e18,ai数组不减）
Solution：
\\quad
设置一个状态
s
t
a
t
e
=
m
a
x
(
a
i
−
c
i
)
state = max(a_i-c_i)
state=max(ai−ci)，当state = 0时就结束了，初始state =
a
n
a_n
an。
\\quad
设
E
k
E_k
Ek表示state=k时到达state=0的期望次数。每次操作将某个ai-ci变成ai，state变成
m
a
x
(
a
i
,
a
j
−
c
j
−
1
)
,
j
≠
i
max(ai,aj-cj-1),j\\neq i
max(ai,aj−cj−1),j=i
state=k时，如果选择
a
i
<
k
ai<k
ai<k去置0，则state不变。
如果选择ai>=k去置0，则state = k-> state =
a
i
a_i
ai。
设
a
r
<
k
<
=
a
r
+
1
a_r<k<=a_r+1
ar<k<=ar+1(即最大的ai，小于k),有
E
k
=
1
+
1
n
(
r
E
k
−
1
+
∑
j
=
r
+
1
n
E
a
j
)
=
>
E
k
−
1
=
1
r
(
n
(
E
k
−
1
)
−
∑
j
=
r
+
1
n
E
a
j
)
E_k =1+\\frac1n(rE_k-1+\\sum_j=r+1^n E_a_j)=>E_k-1 = \\frac1r(n(E_k-1)-\\sum_j=r+1^n E_a_j)
Ek=1+n1(rEk−1+∑j=r+1nEaj)=>Ek−1=r1(n(Ek−1)−∑j=r+1nEaj)。
然后我们已知
E
0
=
0
,
要求
E
a
n
E_0=0,要求E_a_n
E0=0,要求Ean，而这个递推式的顺序是反的。改写一下
设
T
k
=
E
a
n
−
E
k
T_k = E_a_n-E_k
Tk=Ean−Ek,已知
T
a
n
=
0
要求
T_a_n=0要求
Tan=0要求
T
0
T_0
T0
E
a
n
−
E
k
−
1
=
E
a
n
−
1
r
(
n
(
E
k
−
1
)
−
∑
j
=
r
+
1
n
E
a
j
)
=
T
k
−
1
=
1
r
(
n
(
T
k
+
1
)
−
∑
j
=
r
+
1
n
T
a
j
)
,
a
r
<
k
<
=
a
r
+
1
E_a_n-E_k-1 =E_a_n- \\frac1r(n(E_k-1)-\\sum_j=r+1^n E_a_j)=\\\\ T_k-1=\\frac1r(n(T_k+1)-\\sum_j=r+1^n T_a_j),a_r<k<=a_r+1
Ean−Ek−1=Ean−r1(n(Ek−1)−∑j=r+1nEaj)=Tk−1=r1(n(Tk+1)−∑j=r+1nTaj),ar<k<=ar+1
现在就可以倒着推了。
式子后面的
∑
j
=
r
+
1
n
T
a
j
\\sum_j=r+1^n T_a_j
∑j=r+1nTaj，对于一些k是不会变的，也就是说只会变n-1次，所以可以看作常数，然后枚举这段变化。
设
s
=
∑
j
=
r
+
1
n
T
a
j
,
a
r
<
k
<
=
a
r
+
1
s =\\sum_j=r+1^n T_a_j,a_r<k<=a_r+1
s=∑j=r+1nTaj,ar<k<=ar+1 以上是关于AtCoder Beginner Contest 270 EX(期望)的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章 AtCoder Beginner Contest 115 题解