[乱搞]斐波那契数列与gcd之间一个有趣的定理
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求证
gcd(Fn,Fm)=Fgcd(n,m)
其中 F(0)=0,F(1)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n>1)
证明
听说这是一个非常有用的定理，那么就来随便证(luan)明(gao)一下
Part 1
gcd(Fn,Fn−1)=1
证明：
gcd(Fn,Fn−1)=gcd(Fn−Fn−1,Fn−1)=gcd(Fn−2,Fn−1)
……
归纳得证
Part 2
Fn+m=Fn−1Fm+FnFm+1
首先对于m=1显然成立
对于m=2推一下也成立
然后我们来归纳一发，若m=k-1和m=k成立，那么m=k+1也成立
=Fn−1Fk+FnFk+1+Fn−1Fk−1+FnFk
=Fn−1(Fk+Fk−1)+Fn(Fk+1+Fk)
=Fn−1Fk+1+FnFk+2
得证
Part 3
gcd(Fn+m,Fn)=gcd(Fn,Fm)
证明：
gcd(Fn+m,Fn)=gcd(Fn−1Fm+FnFm+1,Fn)=gcd(Fn−1以上是关于[乱搞]斐波那契数列与gcd之间一个有趣的定理的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章