Python 探讨斐波拉契数列模素数的周期问题

Posted 2022-08-29 Travis Wang

Python 探讨斐波拉契数列模素数的周期问题之目录

• 前言
• 一、生成斐波拉契数列
• 二、创建素数列表
• 三、搜索周期数列的循环节
• • 3.1 斐波拉契数列模 $p$ 的周期
  • 3.2 循环节的搜寻代码
  • 3.3 完整实现斐波拉契数列模 $p$ 循环节
• 四、面向未来的问题

---

前言

定义    \\; 斐波拉契数列又称黄金分割数列，是指数列 1、1、2、3、5、8、13、21、34、55 …，通过递推的方式可准确定义为 $F_0=0,F_1=1,F_n=F_{n-1}+F_{n-2},(n\ge 2,n\in N^{\ast })$

记 $\omega =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ ，$\bar{\omega }=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ ，则有斐波拉契数列的通项公式：$$F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left({\omega }^n+{\bar{\omega }}^n\right)$$

性质    \\; 斐波拉契数列前一项与后一项之比的极限为黄金分割比，即有 $$\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{F_n}{F_{n+1}}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$

---

一、生成斐波拉契数列

按照递推公式即可写出如下代码：

def fibonacci(n):
    a, b = 0, 1
    for i in range(n):
        a, b = b, a + b
        yield a

使用 list(fibonacci(10)) 便输出 [1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55] 。

二、创建素数列表

此步方法比较多，大家可以自己发挥，最后使用 primes(20) 要能输出小于 $20$ 的全体素数 [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19] 。本文中至少要求我们能快速生成 $10000$ 以内的素数即可，这是容易实现的，代码不再展示。

三、搜索周期数列的循环节

3.1 斐波拉契数列模 $p$ 的周期

关于一般周期数列循环节的讨论，原本是比较麻烦的，但由于斐波拉契数列模素数 $p$ 的周期很有规律，因此可以简单进行编程处理。

首先解释一下循环节的含义，循环节是指周期数列里一个最小正周期里的子数列。比如周期数列 [1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, …] 里的循环节为 [1, 2, 3] 。

周期数列的周期往往是指该数列循环节的长度，比如上面的周期数列，其周期为 $3$ 。

斐波拉契数列模素数 $p$ 之后形成的新的数列是一个周期数列，我们对于该周期数列的循环节和周期都是十分感兴趣的。

在此，我们给出一个重要结论：

定理    \\; 设 $F_n$ 为斐波拉契数列，$p$ 为大于 $5$ 的素数，数列 $\mathcal{F}$ 为斐波拉契数列 $F_n$ 模素数 $p$ 后的新数列，则当 $p=1,4\mathrm{mod}5$ 时，$\mathcal{F}$ 的周期为 $p-1$ 或 $p-1$ 的因子；当 $p=2,3\mathrm{mod}5$ 时，$\mathcal{F}$ 的周期为 $2p+2$ 或 $2p+2$ 的因子。

上述定理的证明详见论文 The Period of the Fibonacci Sequence Modulo j 中的定理5和定理6。

上述定理告述我们，斐波拉契数列模 $p$ 的周期最多为 $2p+2$ 。因此对于模 $10000$ 以内的素数，最大的一个素数为 $9973$，其周期最多为 $19948$ 。算法仅要求两个周期的匹配即可，故需要至少前 $19948\cdot 2=39896$ 个斐波拉契数。本文我们取前 $40000$ 个斐波拉契数，让他们皆模 $p$ 产生周期数列 $\mathcal{F}$ 。

3.2 循环节的搜寻代码

我们按照上述要求，编写循环节搜寻的 Python 代码：

lstt = [7,1,4,2,8,5,0,7,1,4,2,8,5,0,7,1,4,2]
t = len(lstt)//2
s = 0

for k in range(2, t+1):
    if lstt[0:k]==lstt[k:2*k]:
        print(lstt[0:k])
        print(f'循环节长度为：len(lstt[0:k])')
        print(f'不同元素个数为：len(set(lstt[0:k]))', '\\n')
        s +=1
        break

输出结果如下：

[7, 1, 4, 2, 8, 5, 0]
循环节长度为：7
不同元素个数为：7 

3.3 完整实现斐波拉契数列模 $p$ 循环节

a = primes(10000)
b = list(fibonacci(40000))

s = 0
u = 0
r = 0
lst_1 = []
lst_2 = []

for i in a:
    lst = []
    for j in b:
        lst.append(j % i)
    # 计算数列中的循环节
    t = len(lst)//2
    for k in range(2, t+1):
        if lst[0:k]==lst[k:2*k]:
            print(lst[0:k])
            print(f'循环节长度为：len(lst[0:k])')
            print(f'p=i 时循环节的不同元素个数为：len(set(lst[0:k]))')
            if len(lst[0:k])==2*i+2:
                print(f'最小正周期等于 2p+2', '\\n')
                lst_1.append(i)
                u +=1
            elif len(lst[0:k])==i-1:
                print(f'最小正周期等于 p-1', '\\n')
                lst_2.append(i)
                r +=1
            else:
                print('\\n')
            s +=1
            break

print(f'一共有 s 个循环节被输出')
print(f'一共有 len(a) 个素数被讨论') 
print(f'一共有 u 个模数 p 满足最小正周期等于 2p+2')
print(f'满足最小正周期等于 2p+2 的 p 为：lst_1')
print(f'一共有 r 个模数 p 满足最小正周期等于 p-1')
print(f'满足最小正周期等于 p-1 的 p 为：lst_2'以上是关于Python 探讨斐波拉契数列模素数的周期问题的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
 
 斐波拉契数列（用JavaScript和Python实现）
 实现斐波拉契数列的四种方式python代码
 python斐波拉契数列
 动态规划-斐波拉契数列笔记
 Python生成器—— 斐波拉契数列
 Python入门：生成器应用-斐波拉契数列