高等数学总结（无穷级数）

Posted 2022-08-23 广州接入

 1）无穷级数的收敛：部分和有极限；
2）收敛级数的性质：
A)Un收敛于s，则kUn也收敛于ks:级数的每一项都乘以一个非零常数k，不改变级数的收敛性。
B)级数A，B收敛于a,b,则级数A+B(A-B)收敛于a+b(a-b);两个收敛级数可以逐项相加(相减).
C)在级数中除掉、加上或者改变有限项，不改变级数的收敛性。
D)对于收敛级数A，如果对级数项任意添加括号形成的级数仍然收敛，且和不变；注意：加括号不改收敛性，但去括号则不一定了；
E）如果级数A收敛，则A的一般项趋于0.
3）柯西审敛定理：
级数收敛的充分必要条件是：对任意给定的  ε，总存在正整数N,使得n>N的p项之和的绝对值小于 

ε.
4）正项级数的收敛：
     A）如果正项级数的部分和有界，则级数收敛；
     B）比较审敛定理：An<Bn,如果B收敛，则A收敛，如果A发散，则B发散；
     C）比较审敛的极限形式
     E）比值审敛法（达郎贝尔判别法）：Un+1/Un=p,如果p<1则收敛，p>1 发散,p=1则不定。
     F）根值审敛：，如果p<1则收敛，p>1发散,p=1不定。
     G）极限审敛法：nUn的极限为l,则发散；n^p * Un 的极限为l,l>=0,p>1，Un收敛.

5)交错级数的审敛：
     A）莱布尼兹定理：对于级数:Σ(-1)^(n-1) * Un满足：Un极限为0和Un>=Un+1，则级数收敛.

6)绝对收敛和条件收敛：
   A）级数绝对收敛，则必然收敛；
   B )两个级数收敛s1,s2，则两个级数的柯西乘积收敛于s1*s2;
7）函数项级数：
8）幂级数：
      A）阿贝尔定理：如果级数P=ΣAn*x^n在x0处收敛，则P在|x|<|x0|处都收敛；如果P在x0处发散，则P在|x|>|x0|处都发散；An是级数项的系数。
      B）收敛半径p:Lim|(an/a(n-1))|=k,如果k>0,则p=1/k.如果k=0,则p是无穷大,如果k等于无穷大，则收敛半径为0.
      C）逐项积分，逐项求导。和函数连续。

9）泰勒级数和泰勒展开式:

    函数的泰勒展开式，右边是泰勒级数。

    二项式展开：

   应用：近似计算，微分方程的幂级数解法，欧拉公式
10）幂级数的一致性收敛

11）三角级数：

12）函数的傅里叶三角展开（周期为2π）：

右边叫傅里叶级数，其中：

根据f(x)的奇偶性可退出正弦级数和余弦级数。

13）奇延拓和偶延拓：

    补充函数的定义，让其适合三角展开。
14）一般周期的傅里叶级数：

复数形式：

(1+x)^m 展开算法：

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;

namespace MyMathLib

    /// <summary>
    /// 近似计算
    /// </summary>
    public class ApproximateCalculation
    
        /// <summary>
        /// 利用二项式定义近似计算:(1+x)^m=E(m*(m-1)...(m-n+1)/n! *x^n)
        /// </summary>
        /// <param name="x">(-1,1)</param>
        /// <param name="m">m</param>
        /// <param name="e">误差值</param>
        /// <returns></returns>
        public static double CalcBinomial(double x, double m,double e)
        
            double thePreItemVal = 1;
            double theRet = 1.0;
            int theN = 1;
            while (true)
            
                var theCurrItemVal = thePreItemVal * (m - theN + 1) / theN * x;
                thePreItemVal = theCurrItemVal;
                theRet += theCurrItemVal;
                if (Math.Abs(theCurrItemVal) < e)
                
                    break;
                
            
            return theRet;