蒟蒻の笔记OI中组合数学

Posted 2022-08-22 WangManhe

组合数学

这东西作为csp初赛常驻题目，有时也会在程序题里ex人，所以，这一块的基础一定要打牢

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组合数学概述

两大原理

这里指的是加法原理和乘法原理

加法原理

加法原理即把同阶段的不同的情况相加，举个形象的例子：

从一个城市到另一个城市，有$n$条公路，同时又有$m$条铁路，则总共有$n+m$种方法

乘法原理

乘法原理即把不同阶段的选择数相乘，举个例子

从a城市经过b城市到c城市，从a到b有$n$条路，从c到b有$m$条路，则从a经过b到c有$n\ast m$条路径

排列数和组合数

下面我们了解一下组合数学的两大基本运算

$C_n^m$表示在$m$个不同的物体中$n$选择n个的方案数，叫做组合数，有

$$C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$$

$A_n^m$表示在$m$个不同的物体中$n$选择n个排成序列的方案数，叫做排列数，有

$$A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}$$

这样我们就解决了两个最基本的问题

下面我们来看一下原理（我用容易理解的方法讲一下）：

先看排列数$A_n^m$，对于待选的序列，第一项有$n$个选择，第二项有$n-1$个，一次类推，第$m$项有$n-m+1$个，根据乘法原理，把它们相乘，总共即为从$n$乘到$n-m+1$，也就是，$A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}$

下面再看组合数$C_n^m$，它和排列数的区别在于排列数区分了物品的顺序，而组合数没有，那么就可以直接把有序转化成无序，即$C_n^m=\frac{A_n^m}{m!}$，代入得$C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!}$

其他实用的数

各个伟大的前辈们已经为我们整理出了一套完整的组合数学体系，其中除组合数和排列数外，还有其他的数，全部与排列组合有关

Catalan数

我没看到Catalan数的标准表示法，就自己随便写吧

首先我们来看一组题目（也可以想想为什么是一组）

已知一个凸n边型，众所周知，它可以划分为n-1个三角形，求有多少种划分方法

已知一棵二叉树，有n个节点，求这课二叉树有几种情况（注意二叉树区分左右子树）

已知n对括号，求有多少个括号序列正确匹配

有n个序列依次进栈，求有多少种合法的出栈序列

一个长度为n的序列全部由1和-1组成，要求多少个序列满足所有前缀和为非负数

由于OIer对二叉树的喜爱与赞美之情我们从第二个问题入手
令当前问题的答案为$h_n$，显然，我们必须要选一个根节点，剩下的节点就被分成左子树和右子树，于是我们得到递推式：
$$h_n=\sum _{i=0}^{n-1}{h}_i{h}_{n-i-1}\left(h_0=h_1=1\right)$$

这就是Catalan数的递推式，显然，只要符合这个递推式就是Catalan数，我们代入剩下的问题就知道了——其实这几个问题的答案完全相同

同时我们还可以得到一些其他公式：
一阶递推公式：$h_n=\frac{4n-2}{n+1}{h}_{n-1}$
一个通项公式：$h_n=C_n^{2n}-C_{n+1}^{2n}$
另一个更常用的通项公式：$h_n=\frac{1}{n+1}{C}_n^{2n}$

来来来，开推：
（以下这小段参考了这篇博客）

我们记
$$C(x)=\sum _{n\ge 0}{h}_n{x}^n$$(n为整数)
显然，当$n=0$时，有$h_n{x}^n=1$(此时h_0=1,x^0同样等于1)
于是把$n=0$的情况特殊考虑就有
$$\sum _{n\ge 1}{h}_n{x}^n=C(x)-1$$
对于式子的左边，我们把$h_n$代入得到：
$$\sum _{n\ge 1}{h}_n以上是关于蒟蒻の笔记OI中组合数学的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章$$

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