数据结构学习笔记——图的存储结构（邻接矩阵和邻接表）

Posted 晚风(●•σ )

tags:

篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了数据结构学习笔记——图的存储结构（邻接矩阵和邻接表）相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

目录

前言

图的常用存储结构有邻接矩阵和邻接表，另外还有十字链表、邻接多重表等等。

一、邻接矩阵

图的邻接矩阵存储结构用于表示顶点之间的相邻关系，其中通过一个一维数组存储顶点，一个二维数组存储顶点之间的相邻关系，一个顶点数为n的图的邻接矩阵是n×n（n行n列），用邻接矩阵方法来表示一个图共需要n2个存储空间，即其空间复杂度为O(n2)。

（一）图的邻接矩阵表示

  • 设图G=(V，E)，若顶点是E(G)中的边，则用1标记，记为A[i][j]=1；若顶点不是E(G)中的边，则用0标记，记为A[i][j]=0。

例如，下面是一个无向完全图：

其邻接矩阵表示如下：

例如，下面是一个有向图：

其邻接矩阵表示如下：

（二）图的邻接矩阵性质

  • ✨无向图的邻接矩阵一定是对称矩阵，关于对角线对称，且主对角线一定为零（只针对简单图），而有向图的邻接矩阵不一定是对称矩阵。

由于无向图的邻接矩阵存在对称关系，其上三角和下三角的相同的，所以当在存储时，除了对角线都为0以外，只需要存储上三角或下三角的数据，故只需要n(n-1)/2个存储空间。

只存储上三角或下三角的数据，即1+2+3+……+(n-1)=n(n-1)/2。

  • ✨对于无向图，顶点vi的度为其邻接矩阵中第i行（或第i列）的非零元素的个数；而对于有向图，顶点vi的度为其邻接矩阵中第i行和第i列的非零元素的个数之和。

例、设图的邻接矩阵A如下所示，各顶点的度依次是_______。

首先，可知该邻接矩阵不对称，所以图为有向图，有向图的度为入度和出度之和，
所以各顶点的度为邻接矩阵中每行和每列之和，出度对应行，入度对应列，
即，V1=1+1+1=3，V2=1+1+1+1=4，V3=1+1=2，V4=1+1+1=3
即3，4，2，3。

（三）网的邻接矩阵表示

  • 带权的图称为网，设图G=(V，E)，若顶点vi与顶点vj之间有边，则记为A[i][j]=Wij，即对应邻接矩阵对应项中存放边的权值；若顶点vi与顶点vj不相连，两个顶点间不存在边，则用∞标记，记为A[i][j]=∞，这里的∞是一个大于所有边的权值。

例如，下面是一个无向网，带有权值：

其邻接矩阵表示如下：

例如，下面是一个有向网，带有权值：

其邻接矩阵表示如下：

二、邻接矩阵存储结构代码

以下代码可用于求有向图或无向图的邻接矩阵，只需修改其中一句代码（详细见图的邻接矩阵建立）。

（一）图的邻接矩阵定义

可自行定义MAXSIZE，即顶点数目的最大值，顶点的数据类型为char类型，边的数据类型为int类型，如下代码：

#define MAXSIZE 100
typedef struct 
	int n,e;					//图的顶点数目、图的边数目
	char V[MAXSIZE];			//一维数组，存储顶点
	int E[MAXSIZE][MAXSIZE];	//二维数组，边的邻接矩阵
 Graph;

（二）初始化邻接矩阵

初始化邻接矩阵，将邻接矩阵中的所有元素都置为0，通过for循环嵌套完成，如下代码：

/*初始化邻接矩阵*/
void InitGraph(Graph *G) 
	int i,j;
	for(i=0; i<G->n; i++)
		for(j=0; j<G->n; j++)
			G->E[i][j]=0;

（三）图的邻接矩阵建立

/*图的邻接矩阵建立*/
void CreateGraph(Graph *G) 
	int i,j,k;
	char ch1,ch2,X;
	printf("请输入图的顶点数目：");
	scanf("%d",&G->n);
	printf("请输入图的边的数目：");
	scanf("%d",&G->e);
	printf("请输入各顶点的信息：\\n");
	for(i=0; i<G->n; i++) 
		scanf("%c",&X); 
		printf("输入第%d个顶点：",i+1);
		scanf("%c",&(G->V[i]));
	
	for(k=0; k<G->e; k++) 
		scanf("%c",&X); 
		printf("建立第%d条边（以逗号隔开）：",k+1);
		scanf("%c,%c",&ch1,&ch2);
		for(i=0; i<G->n; i++)
			for(j=0; j<G->n; j++)
				if(ch1==G->V[i]&&ch2==G->V[j]) 
					G->E[i][j]=1;
					G->E[j][i]=1;		/*对于有向图，可以去掉这行代码，而无向图需加上*/

（四）输出邻接矩阵

/*输出邻接矩阵*/
void PrintGraph(Graph G) 
	int i,j;
	for(i=0; i<G.n; i++) 
		for(j=0; j<G.n; j++)
			printf("%d  ",G.E[i][j]);
		printf("\\n");

例如，下面是个无向完全图，求其邻接矩阵。

可知该图有4个顶点，6条边，顶点信息分别为A、B、C、D，边分别为A,B、A,C、A,D、B,C、B,D、C,D。
代码如下：

#include <stdio.h>
#define MAXSIZE 100
typedef struct 
	int n,e;					//图的顶点、图的边
	char V[MAXSIZE];			//一维数组，存储顶点
	int E[MAXSIZE][MAXSIZE];	//二维数组，存储顶点之间关系
 Graph;

/*初始化邻接矩阵*/
void InitGraph(Graph *G) 
	int i,j;
	for(i=0; i<G->n; i++)
		for(j=0; j<G->n; j++)
			G->E[i][j]=0;


/*图的邻接矩阵建立*/
void CreateGraph(Graph *G) 
	int i,j,k;
	char ch1,ch2,X;
	printf("请输入图的顶点数目：");
	scanf("%d",&G->n);
	printf("请输入图的边的数目：");
	scanf("%d",&G->e);
	printf("请输入各顶点的信息：\\n");
	for(i=0; i<G->n; i++) 
		scanf("%c",&X); 
		printf("输入第%d个顶点：",i+1);
		scanf("%c",&(G->V[i]));
	
	for(k=0; k<G->e; k++) 
		scanf("%c",&X); 
		printf("建立第%d条边（以逗号隔开）：",k+1);
		scanf("%c,%c",&ch1,&ch2);
		for(i=0; i<G->n; i++)
			for(j=0; j<G->n; j++)
				if(ch1==G->V[i]&&ch2==G->V[j]) 
					G->E[i][j]=1;
					G->E[j][i]=1;
				
	


/*输出邻接矩阵*/
void PrintGraph(Graph G) 
	int i,j;
	for(i=0; i<G.n; i++) 
		for(j=0; j<G.n; j++)
			printf("%d  ",G.E[i][j]);
		printf("\\n");
	


/*主函数*/
int main() 
	Graph G;
	InitGraph(&G);					//初始化邻接矩阵 
	CreateGraph(&G);				//建立邻接矩阵 
	printf("图的邻接矩阵为：\\n");
	PrintGraph(G);					//输出邻接矩阵

运行结果如下：

例如，下面是个有向图，求其邻接矩阵。

可知该图有4个顶点，5条边，顶点信息分别为A、B、C、D，边分别为B,A、B,C、B,D、C,A、D,C。
代码如下：

#include <stdio.h>
#define MAXSIZE 100
typedef struct 
	int n,e;					//图的顶点、图的边
	char V[MAXSIZE];			//一维数组，存储顶点
	int E[MAXSIZE][MAXSIZE];	//二维数组，存储顶点之间关系
 Graph;

/*初始化邻接矩阵*/
void InitGraph(Graph *G) 
	int i,j;
	for(i=0; i<G->n; i++)
		for(j=0; j<G->n; j++)
			G->E[i][j]=0;


/*图的邻接矩阵建立*/
void CreateGraph(Graph *G) 
	int i,j,k;
	char ch1,ch2,X;
	printf("请输入图的顶点数目：");
	scanf("%d",&G->n);
	printf("请输入图的边的数目：");
	scanf("%d",&G->e);
	printf("请输入各顶点的信息：\\n");
	for(i=0; i<G->n; i++) 
		scanf("%c",&X); 
		printf("输入第%d个顶点：",i+1);
		scanf("%c",&(G->V[i]));
	
	for(k=0; k<G->e; k++) 
		scanf("%c",&X); 
		printf("建立第%d条边（以逗号隔开）：",k+1);
		scanf("%c,%c",&ch1,&ch2);
		for(i=0; i<G->n; i++)
			for(j=0; j<G->n; j++)
				if(ch1==G->V[i]&&ch2==G->V[j]) 
					G->E[i][j]=1;
					//G->E[j][i]=1;
				
	


/*输出邻接矩阵*/
void PrintGraph(Graph G) 
	int i,j;
	for(i=0; i<G.n; i++) 
		for(j=0; j<G.n; j++)
			printf("%d  ",G.E[i][j]);
		printf("\\n");
	


/*主函数*/
int main() 
	Graph G;
	InitGraph(&G);					//初始化邻接矩阵 
	CreateGraph(&G);				//建立邻接矩阵 
	printf("图的邻接矩阵为：\\n");
	PrintGraph(G);					//输出邻接矩阵

运行结果如下：

三、邻接表

（一）邻接表表示

邻接表方法采用顺序存储结构和链式存储结构来存储图，对于图中每个顶点vi，将所有邻接于vi的顶点连成一个单链表，即这个单链表就称为顶点vi的邻接表，另外还需将所有顶点的邻接表放进数组中。

  • 由于图G=(V，E)，即需要在邻接表中定义两种结点结构，即顶点表和边表，另外若边上带有权值，则还需中边表上添加一个信息代表权值。顶点表中除了数据域用于存储顶点信息，还有指向第一条与其邻接顶点的指针域；边表中由邻接点域和指向下一条邻接边的指针域组成。


例如，下面这个无向完全图：

为其编号如下：

其邻接表表示如下：

例如，下面这个有向图：

为其编号如下：

其邻接表表示如下：

（二）逆邻接表表示

与邻接表相反，逆邻接表表示的是顶点的入度邻接情况，如下：

该有向图的邻接表和逆邻接表表示如下：

（三）邻接表的性质

在无向图的邻接表表示中，由于同一条边连着两个顶点，所以相当于每条边被存储了两遍，而对于有向图则没有，所以：

  • ✨在一个有n个顶点、e条边的无向图或有向图中，采用邻接表存储，无向图需要n个单链表表头指针和2e个边结点；而有向图需要n个单链表表头指针和e个边结点。

可以通过邻接表看出图中顶点的度，但无向图和有向图的度不一样，如下：

  • ✨对于无向图，顶点vi的度为第i个单链表的结点数；而对于有向图，顶点vi的出度为第i个单链表的结点数，其入度为邻接表中所有单链表的邻接点域值为i的边结点个数。

对于要频繁计算有向图中顶点入度和出度的情况，可以另外建立一个逆邻接表，与有向图的邻接表相比，邻接表表示的是顶点的出度邻接情况，而相反，其逆邻接表表示的是顶点的入度邻接情况。

四、邻接多重表

邻接多重表是一种链式存储结构，用于表示无向图，邻接多重表也是由顶点表和边表组成，每个顶点由两个域组成，data域用于存储顶点的信息，firstedge域用于指向第一条与其邻接的边，顶点表的结构如下：

datafirstedge

由于无向图的特点，一条边两个结点，所以每个边结点同时连接在两个链表中，相对于邻接表，邻接多重表同一条边只需一个结点表示，边表的结构如下：

markivexilinkjvexjlinkinfo

首先，mark域为标识域，用于表示该边是否被访问过；ivex和jvex为该边邻接的两个顶点在图中的位置；ilink和jlink用于指向下一个邻接顶点ivex和jvex的边；info用于指向和边相关的各种信息的指针域。

五、十字链表

十字链表也是一种链式存储结构，用于表示有向图，data域用于存储顶点的信息，firstin和firstout域分别指向以该顶点弧头或弧尾的第一个弧结点，顶点表的结构如下：

datafirstinfirstout

十字链表中在表示弧时将其视为一个结点，tailvex和headvex域，分别表示弧的弧尾和弧头在图中的位置，hlink指向弧尾相同的下一条弧，tlink 指向弧头相同的下一条弧，info用于指向该弧的信息，从而使相同的弧尾和弧头分别在不同的一个链表上，弧结点表的结构如下：

tailvexheadvexhlinktlinkinfo

以上是关于数据结构学习笔记——图的存储结构（邻接矩阵和邻接表）的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

数据结构学习笔记——图的存储结构（邻接矩阵和邻接表）

数据结构与算法学习笔记 图

数据结构与算法学习笔记 图

编程实现以邻接表或邻接矩阵为存储结构，图的广度和深度优先搜索

图的基本概念；图的邻接矩阵和邻接表存储结构

第六章学习小结