Nowcoder 105D Fibonacci 进制 （数论）

Posted 2022-08-13 小坏蛋_千千

题目描述

Fibonacci 数是非常有名的一个数列，它的公式为 $f(n)=f(n-1)+f(n-2),f(0)=1,f(1)=2$ 。

我们可以把任意一个数 $x$ 表示成若干不相同的 Fibonacci 数的和，比如说 $14 = 13+1 = 8+5+1 = 8+3+2+1$。

如果把 Fibonacci 数列作为数的位权，即 $f(i)$ 作为第 $i$ 位的位权，每位的系数只能是 $0$ 或者 $1$ ，从而得到一个 $01$ 串。比如 $14$ 可以表示成 $100001,11001,10111$ 。 我们再把这个 $01$ 串看成 $2$ 进制，再转成 $10$ 进制以后就变成了 $33,25,23$ 。为了避免歧义，我们将使用最小的那个值 $23$ 。

请按照这个过程计算一下 $10$ 进制整数通过上述转换过程得到的 $10$ 进制整数。

 

输入描述

第一行是一个整数 $T(1 ≤ T ≤ 10000)$ ，表示样例的个数。

以后每行一个样例，为一个十进制正整数 $x(1 ≤ x ≤ 10^9)$ 。

 

输出描述

每行输出一个样例的结果。

 

输入

5
1
10
100
1000
1000000000

 

输出

1
14
367
10966
4083305275263

 

思路

因为我们要让这一个数 $x$ 表示的最终结果最小，所以要将他展开的越彻底越好（注意不能出现相同的斐波那契数）

最好的情况下 $x$ 刚好可以表示为前 $k$ 项的斐波那契数的和减一（因为标准的斐波那契数列前面有两个重复的 $1$ ）

于是我们有：

$$x=(\\sum_i=1^kFibonacci[i])-1$$

根据斐波那契数列的性质我们还有：

$$\\sum_i=1^nFibonacci[i]=Fibonacci[n+2]-1$$

因此得出：

$$x=Fibonacci[k+2]-2$$

等价于：

$$x+2=Fibonacci[k+2]$$
打表得出 $10^9$ 以内所有的斐波那契数，然后二分求出一个 $k$ 使得 $Fibonacci[k+2]≥x+2$ 。

• 对于特殊的情况（ $Fibonacci[k+2]=x+2$ ）：显然此时的答案等于 $2^k-1$
• 对于一般的情况（ Fibonacci[k+Nowcoder 105D Fibonacci 进制 （数论）

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