递归:理解和应用

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了递归:理解和应用相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

从一个最最简单的例子出发,我们要对一个数组进行求和,一个想当然的方法就是直接进行遍历求和,我们看看能否考虑使用递归。

递归算法是一种直接或者间接调用自身函数或者方法的算法。说简单了就是程序自身的调用。递归算法就是将原问题不断分解为规模缩小的子问题,然后递归调用方法来表示问题的解。(用同一个方法去解决规模不同的问题)

  • 递去:将递归问题分解为若干个规模较小,与原问题形式相同的子问题,这些子问题可以用相同的解题思路来解决
  • 归来:当你将问题不断缩小规模递去的时候,必须有一个明确的结束递去的临界点(递归出口),一旦达到这个临界点即就从该点原路返回到原点,最终问题得到解决。
    四、递归算法的设计要素

递归思维是一种从下向上的思维方式,使用递归算法往往可以简化我们的代码,而且还帮我们解决了很复杂的问题。递归算法的难点就在于它的逻辑性,一般设计递归算法需要考虑以下几点:

  1. 明确递归的终止条件
  2. 提取重复的逻辑,缩小问题的规模不断递去
  3. 给出递归终止时的处理办法

什么时候使用递归

判断一个问题是否可以使用递归才是掌握递归的开始。先看几个经典的递归问题

1. 顺序打印链表

看到这个问题,最简单的想法就是循环了,老实说考虑使用递归去解的我都觉得是脑子有问题,无奈为了慢慢理解递归只能强行往上靠。
我考虑的时候是非常直接,打印当前的数字,然后递归的调用自身不断缩小问题规模

# Definition for singly-linked list.
# class ListNode:
#     def __init__(self, x):
#         self.val = x
#         self.next = None

class Solution:
    def printList(self, head: ListNode) -> List[int]:
        if head is None:
            return
        print(head.val)
        self.printList(head.next)

  1. 明确了递归的停止条件,head is None的时候到了链表的末尾了,无需进一步打印因此可以停止了
  2. 提取重复的逻辑,这里的重复逻辑非常的简单,就是print(head.val)
  3. 缩小问题规模,我们不断调用head.next,使得head往链表后面移动,缩小了问题规模
  4. 递归终止的时候我们也无需做其他事情,因此直接返回即可

老实讲,这里的递归其实就是for循环,我们不断的往后遍历。

2. 链表求和

链表求和和打印是一样的,我们使用递归遍历每一个元素然后求和即可。但是这里考虑的是递归的子问题。

从上图也可以很容易明白,我们可以缩小问题规模的,想要求解sum([1,2,3,4,5,6,7]),我们只要先求出sum([2,3,4,5,6,7])的结果,然后再跟head.val相加即可。同样的套娃方式,我们想要求解sum([2,3,4,5,6,7]),只需要求解sum([3,4,5,6,7])即可。

# Definition for singly-linked list.
# class ListNode:
#     def __init__(self, x):
#         self.val = x
#         self.next = None

class Solution:
    def listSum(self, head: ListNode) -> List[int]:
        if head is None:
            return 0
        s = self.listSum(head.next) + head.val # 子问题
        return s # 其他逻辑
  1. 明确了终止条件,当head is None的时候就不需要再累加了,这个时候我们可以返回0
  2. 提取重复逻辑,这里的重复逻辑也很简单,就是把当前的值与子问题的值累加即可self.listSum(head.next) + head.val

3. 数组求和

数组求和的递归是我自己瞎想的,主要是想要使用归并的思想,我们依然把原问题划分为子问题,进而缩小问题规模。但是这里我们需要调用两次子问题,我们把数组分为两个部分,然后分别求解出左边数组的和,右边数组的和,之后将其相加就是总的和

这个问题也很好的说明了递归的一个特点,那就是缩小问题规模,子问题与原问题是等价的,我们求解出子问题之后,需要再进行一些逻辑操作。现在突然想到一个问题,子问题与原问题等价吗?

  1. 逻辑上肯定是相同的,只是问题规模缩小了。
  2. 那些逻辑操作则是解决问题的
arr = [-1,2,3,4,5,6]

def mergeAdd(arr, l,r):
    if l >= r:
        return arr[l]
    
    m = (l + r) // 2

    lsum = mergeAdd(arr, l, m)
    rsum = mergeAdd(arr, m+1, r)

    return lsum + rsum

res = mergeAdd(arr,0,len(arr)-1)
print(res)
  1. 终止条件,当左游标大于等于右游标的时候,说明只有一个元素了,此时直接返回值即可
  2. 子问题和重复逻辑,原来求解的是0len(arr)-1所有元素的和,现在求解成子问题0m和子问题m+1len(arr)-1和,调用了两次子问题,之后将求解的和相加即是总的和

以上是关于递归:理解和应用的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

递归:如何利用递归求解汉诺塔问题?

基础算法| 快速排序

实验2 递归和分治法(二分查找)

递归:数组分治求和

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