算法系列 -- 递归/递推优化

Posted 2022-08-02 躬匠

这里以常见的斐波那契数列和阶乘求解为例来学习一下递归/递推算法的使用。

<?php
//***********问题1 斐波那契数列求解*************
$n = 7;
//方法1 ：递归算法
//此算法的时间复杂度为O(n*n),空间复杂度为O(1)
function getSum($n) 
	if ($n <=2) 
		return 1;
	
	return getSum($n - 1) + getSum($n - 2);


//方法2 ：递推算法 + 临时数组
//用数组存储的话时间复杂度为O(n),空间复杂度为O(n)
$arr = array();
$arr[1] = 1;
$arr[0] = 0;
for($i = 2; $i <= $n; $i ++) 
	$arr[$i] = $arr[$i - 1] + $arr[$i - 2];


//方法3：递推算法 + 两个临时变量
//这种算法的时间复杂度为O(n),空间复杂度为O(1)
$a = 0;
$b = 1;
$temp = 0;
for($i = 2; $i <= $n; $i ++) 
	$temp = $a + $b;
	$a = $b;
	$b = $temp;



//***************问题2 阶乘 ***************
$n = 7;
//方法1 ：递归算法
//此算法的时间复杂度为O(n*n),空间复杂度为O(1)
function getFactorial($n) 
	if ($n ==1) 
		return 1;
	
	return getFactorial($n - 1) * $n;


//方法2 ：递推算法 + 临时数组
//用数组存储的话时间复杂度为O(n),空间复杂度为O(n)
$arr = array();
$arr[1] = 1;
for($i = 2; $i <= $n; $i ++) 
	$arr[$i] = $arr[$i - 1] * $i;


//方法3：递推算法 + 两个临时变量
//这种算法的时间复杂度为O(n),空间复杂度为O(1)
$a = 1;
$temp = 0;
for($i = 2; $i <= $n; $i ++) 
	$temp = $a * $i;
	$a = $temp;

由上面的解题思路可知，对于一个问题有不同的求解方法，但应该优先选择时间复杂度和空间复杂度最优的。

注：上面使用的递推是顺推，即有条件以及表达式推到最终的结果。