Level-Set Method

Posted 2022-08-01 松子茶

水平集(Level Set)方法主要是从界面传播等研究领域中逐步发展起来的，它是处理封闭运动界面随时间演化过程中几何拓扑变化的有效的计算工具。Osher和Sethian[1]首先提出依赖时间的运动界面的水平集描述。其主要思想是将移动的界面作为零水平集嵌入高一维的水平集函数中，这样由闭超曲面的演化方程可得到水平集函数的演化方程，而嵌入的闭超曲面总是其零水平集，最终只要确定零水平集即可确定移动界面演化的结果。Level Set方法自提出以来，已在图像处理和计算机视觉等领域得到广泛的应用：如Sethian[1]等用Level Set去除图像噪声;Malladi[2]将其应用于图像分割，特别是医学图像的分割和重建中；Bertalmio[3]等将Level Set应用于图像变形和破损图像修复中；Masouri[4]将Level Set运用于运动目标跟踪领域；Parogios和Deriche[5]用Level Set方法进行纹理分割以及运动目标分割和跟踪；Samson[6]等人用Level Set方法实现图像分类等。

Level Set方法是由Sethian和Osher于1988年提出，最近十几年得到广泛的推广与应用。简单的说来，Level Set方法把低维的一些计算上升到更高一维，把N维的描述看成是N＋1维的一个水平。举个例子来说，一个二维平面的圆，如x^2+y^2=1可以看成是二元函数f(x,y)=x^2+y^2的1水平，因此，计算这个圆的变化时就可以先求f(x,y)的变化，再求其1水平集。这样做的好处是，第一，低维时的拓扑变化在高维中不再是一个难题；第二，低维需要不时的重新参数化，高维中不需要；第三，高维的计算更精确，更鲁棒；第四，Level Set方法可以非常容易的向更高维推广；最后，也是非常重要的一点就是，上升到高维空间中后，许多已经成熟的算法可以拿过了直接用，并且在这方面有非常成熟的分析工具，譬如偏微分方程的理论及其数值化等。当然，这种方法最为诟病的就是他增加了计算量，但新的快速算法不断出现，使得这也不是个大问题。

适用范围：

这儿只是列举一些经典的领域，但并不完全，如果你能在自己的领域找到新的应用，祝贺你。 Level Set最初始的应用领域就是隐含曲线（曲面）的运动，现在Level Set已经广泛应用于图像恢复、图像增强、图像分割、物体跟踪、形状检测与识别、曲面重建、最小曲面、最优化以及流体力学中的一些东西。

Level Set需要掌握的知识：
学习和应用Level Set需要掌握偏微分方程理论及其数值化方法，其中又应该着重掌握偏微分方程中的Conversation Law，The Theory of Viscosity Solution(粘性溶液 ) and Hamilton-Jacobi Equation( 哈密尔顿-雅可比方程 )及其数值化方法。同时，在学习Level Set的时候也会经常遇到变分法和测度论的一些内容，但对这两方面的要求不高，了解一下就行了。 

推荐读物：

（1） Stanley Osher and Ronald Fedkiw. Level Set Methods and Dynamic Implicit Surfaces. Springer-Verlag (2002). 评点：这本书是创始人之一Osher写的，这本书是论述Level Set的最完整的书籍之一，更偏重于数值化的高精度解，应用领域涉及图像处理以及计算物理。
（2） James A. Sethian. Level Set Methods and Fast Marching Methods. Cambridge University Press (1999). 评点：这是另外一个创始人Sethian的作品，与Osher的书互有侧重，互相补充，这本书更偏重于Fast Marching Methods, 非结构化网格，涉及的应用领域更广泛。
（3） Guillermo Sapiro, Geometric Partial Differential Equations and Image Analysis, Cambridge University. 评点：这本书对理解Level Set也非常有帮助，它更偏重于图像中的几何特征，如曲率等，对几何偏微分方程介绍的比较详细。
（4） Gilles Aubert and Pierre Kornprobst，
Mathematical problems in image processing: Partial Differential Equations and the Calculus of Variation, Springer, Applied Mathematical Sciences, Vol 147, 2002。这本书数学味太浓，一般人没兴趣读下去，但如果你确实想对你的方法奠定更好的理论基础，这本书就非常有用了，它可以指导你应该在哪方面下功夫。另外，这边书的前言和第一章写的非常好，非常值得一读。
总评：（1）和（2）是学习Level Set常备案头的手册， 如果你想深入，（3）和（4）也应该看一看。

推荐文章

（1） Osher, S., and Sethian, J.A., Fronts Propagating with Curvature-Dependent Speed: Algorithms Based on Hamilton–Jacobi Formulations, Journal of Computational Physics, 79, pp. 12–49, 1988. 评点：这是开创Level Set的一篇文章，必读。
http://math.berkeley.edu/~sethian/Publications/publications.html
这儿可以下载，但是这儿下载的文章只有文字没有图，要想看真正原版的，到图书馆复印吧。

（2） Osher, S. and Fedkiw, R., “Level Set Methods: An Overview and Some Recent Results”, J. Comput. Phys. 169, 463-502 (2001). 评点：这是一篇比较早的综述，UCLA CAM Report 00-08。
http://www.math.ucla.edu/%7Eimagers/htmls/reports.html可以下载。

（3） Richard Tsai and Stanly Osher，level set methods and their applications in image science，COMM. MATH. SCI. Vol. 1, No. 4, pp. 623-656 评点：这篇综述内容更丰富些，结果也比较新。intlpress.com/CMS/issue4/levelset_imaging_chapter.pdf 可以下载。
总评：关于Level set的文章太多，无法一一列举，强烈建议到下面的网址逛一逛，那儿有最新的文章。http://www.math.ucla.edu/~imagers/reports.htm

Level Set推荐网站：

（1）http://math.berkeley.edu/~sethian/level_set.html 评点：这是Sethian的网站，上面关于Level Set的论述非常多，分门别类，非常清晰。
（2）http://www.math.ucla.edu/~imagers/ 评点：这是UCLA的研究组，由Osher创办，关于Level Set的新进展几乎都跟他们相关，这个网站是关注Level Set的最新新闻的最好的地方。

Level Set的工具包：

http://www.cs.ubc.ca/~mitchell/ToolboxLS/index.html评点：这是Michell开发的工具包，通用性比较好，缺点是自己修改起来非常麻烦。建议自己重新写这些函数，可以把这个工具包拿来验证自己写的对否。

参考资料

[1] S. Osher and J. Sethian. Fronts propagating with curvature dependent speed: Algorithms based on the Hamilton-Jacobi formulation. J. Comput. Phys., 1988 Vol.79:pp.12-49.
[2] Malladi R, Sethian J A, Vemuri B. Shape modeling with front propagation: a level set approach. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 1995, 17(2): 158-174.
[3] Bertalmio M, Sapiro G, Randall G. Region tracking on level-set methods. IEEE Transactions on Medical Imaging, 1999, 18(5): 448-451.
[4] Masouri A-R, Sirivong B, Konrad J. Multiple motion segmentation with level sets. Proceedings of SPIE, 2000, Vol.3974, pp.584-595.
[5] Paragios N, Deriche R. Geodesic active contours and level sets for the detection and tracking of moving objects. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 2000, 22(3): 266-280.
[6] Samon C, Blanc-Feraud L, Aubert G, Josiane Z. Level set model for image classification. International Journal of computer Vision, 2000, 40(3): 187-197.
[7] Digabel, H., and Lantuejoul, C. Iterative algorithms. In Actes du Second Symposium Europeen d'Analyse Quantitative des Microstructures en Sciences des Materiaux, Biologie et Medecine, Caen,4-7 October 1977 (1978), J.-L. Chermant, Ed., Riederer Verlag, Stuttgart, pp. 85-99.
[8] J.Sijbers, M.Verhoye, P.Scheunders, A.van der Linden. Watershed-based segmentation of 3D mr data for volume quantization. Magnetic Resonance Imaging, 1997,Vol.15, No.6: PP.679-688.
[9] J.A.Sethian. A fast marching level set method for monotonically advancing fronts. Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 93(1996): pp.1591-1595.
[10] J.A.Sethian. Fast marching methods. SIAM Rev., 41(1999): pp.199-235.
[11] R.Malladi and J.A.Sethian. An O(N log(N)) Algorithm for Shape Modeling. In Proceedings of National Academy of Sciences, USA, Sept. 1996,Vol. 93: pp. 9389-9392.