趣题分享关于蒋干盗书你所需要知道的

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了趣题分享关于蒋干盗书你所需要知道的相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

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序言

又到了快乐的概率论时间。

起因是昨天打了一把野心家甄姬蒋干，对面司马懿张郃、邓艾夏侯惇、荀攸张辽、郭嘉曹操。盟友孙坚陆逊直接干掉其他两个盟友摆烂（又没曹丕为啥不能挣扎一下下呢），苦逼的笔者被迫1V4，成功干翻三个魏狗（等等，我好像也是），可惜最后鏖战单挑竟然不敌邓艾夏侯惇，实在是丢人丢到姥姥家（要不然就能放出来给大家炫耀一下了）。

前排干神镇楼！

图1 蒋干武将牌（皮肤： 奇异博士千帆征战）

笔者知耻后勇，决心挑灯夜战计算蒋干盗书的最优策略。

蒋干的核心技能是盗书，具体的文字定义如下所述：

定义 1 1 1（蒋干盗书文字说明）：

出牌阶段限一次，你可以选择一名其他角色并选择一种花色（♠，♥，♣，♦），然后获得该角色一张手牌：

  1. 若此牌与你选择的花色相同，你对其造成一点伤害，且此技能视为未发动过；

  2. 若此牌与你选择的花色不同，则你交给该角色一张其他花色的手牌（若没有需展示所有手牌）；

从定义 1 1 1中可以看出，蒋干盗书的上限非常高，只要能猜对别人手牌的花色，就可以源源不断地发动盗书（即不断地触发**定义 1 1 1**中第一个条件分支），理论上欧皇蒋干可以开局偷光所有人手牌（顺带打出巨额伤害），然而绝大多数时候蒋干都如同咸鱼一般，仅仅是跟别人换一张手牌就弃牌过了。

这其实并不难理解，在无任何先验信息的条件下，蒋干发动盗书的成功率仅为 1 / 4 1/4 1/4，此时期望上蒋干通过盗书获得的手牌数为：
E r a n d o m ( X ) = ∑ k = 1 + ∞ 1 4 k = 1 3 (1) \\mathbbE_\\rm random(X)=\\sum_k=1^+\\infty\\frac14^k=\\frac13\\tag1 Erandom​(X)=k=1∑+∞​4k1​=31​(1)
实战中蒋干想要获取关于手牌的先验信息非常困难，在不考虑其他武将技能的条件下，仅能通过火攻（别人展示一张明牌）与五谷丰登（别人获得一张明牌）收集先验信息，而仅仅一张明牌的先验信息很多时候并不足以改变蒋干咸鱼的本质。

因此蒋干的主场显然是在国战：

  1. 魏国将池中有大量可以为蒋干提供手牌先验信息的搭配武将（荀攸、于禁、郭嘉、崔琰毛玠）；
  2. 魏国将池中还有大量可以破坏别人手牌结构的搭配武将（张辽、张郃、邓艾、荀彧），同样可以提升盗书成功率；
  3. 曹丕的放逐使得蒋干能够对同一个人连续发动两轮盗书，大大提升成功率；
  4. 李典看似与蒋干并无相性，事实上这个组合的上限是蒋干所有搭配中最高的；

最最关键的是，国战牌堆中有一张专属锦囊知己知彼能够直接观看他人手牌：

图2 知己知彼（国战专属）

尽管知己知彼无法获得有效的手牌次序，但是在已知手牌的各花色数量的条件下进行盗书，此时成功率显然是非常可观的。

因此，本文将通过理论证明与仿真验证的研究方法，着重探讨在知己知彼提供的明牌条件（即已知手牌中各个花色的数量构成）下及其各个变体的盗书策略。

1 明牌条件下的最优盗书策略

1.1 最优策略的猜想

首先将问题抽象为标准的数学描述：

问题 1 1 1（明牌盗书）：

已知可重集（即可以包含重复元素的集合） U = x 1 , x 2 , . . . , x n U=\\x_1,x_2,...,x_n\\ U=x1​,x2​,...,xn​中包含 n n n个元素，其中 x i ∈ 1 , 2 , . . . , k , i = 1 , 2 , . . . , n x_i\\in\\1,2,...,k\\,i=1,2,...,n xi​∈1,2,...,k,i=1,2,...,n。从 U U U中不放回地依次采样一个元素，并猜测本次采样得到的元素对应的数值，直到猜测错误为止。

令上述过程中猜测正确的次数为 X X X，则使得随机变量 X X X的数学期望最大的猜测策略是什么？此时随机变量 X X X的数学期望 E b a s e ( X ) \\mathbbE_\\rm base(X) Ebase​(X)是多少？

在蒋干盗书的环境下，问题 1 1 1 中的 U U U即为手牌集合， k ≤ 4 k\\le 4 k≤4为花色数量（元素种类），此处不妨设 U U U中包含每种花色的手牌至少有一张。

注意到，我们关注的是最大化猜测正确次数 X X X的数学期望，举一个简单的例子，假定 U = 1 , 1 , 2 , 2 , 3 U=\\1,1,2,2,3\\ U=1,1,2,2,3，下面是两种不同猜测策略对应 X X X的分布列：