[AGC040E]Prefix Suffix Addition

Posted 2022-07-04 StaroForgin

Prefix Suffix Addition

题解

首先，对于这道题，我们一个比较容易的想法是将整个序列拆成一个序列$B$和一个序列$C$，满足$A_i=B_i+C_i$。
我们对于序列$B$中的数执行操作$1$，序列$C$中的数执行操作$2$。
这样，我们就能将对一个序列进行两种操作变为对两个序列执行方向不同的一种操作。
我们观察一个序列的情况，如果我们被允许从一端开始减去一个递增序列最少多少次能把它减完。
可以发现，这样减完序列$A$的答案为${\sum }_{i=1}^n[A_i>A_{i+1}]$。
显然，我们会尝试从$a_n$到$a_1$，不断把数减为$0$，在$a_{i+1}$减到$0$时，$a_i$被减的值不会超过$a_{i+1}$。如果$a_{i+1}⩾a_i$，那么减完$a_{i+1}$时也可以把$a_i$减完，否则需要多执行一次操作。
反过来操作同理，所以最后的答案为${\sum }_{i=0}^n[B_i>B_{i+1}]+[C_i<C_{i+1}]$。
我们可以考虑对这东西进行$dp$。
定义$d{p}_{i,j}$表示$B_i=A_i-j,C_i=j$时前缀所产生的最小贡献。
显然，我们是比较容易地写出它的$dp$转移式的，
$$d{p}_{i,j}=\underset{k=0}{\overset{A_{i-1}}{\min }}\left(d{p}_{i-1,k}+[j>k]+[A_i-j<A_{i-1}-k]\right)$$
当然，直接这样转移是$O\left(nA\right)$的，显然不行，考虑优化。
我们可以从上面的转移式发现一个性质：

• $\forall j<k(j,k\in [0,A_i]),d{p}_{i,k}-d{p}_{i,j}\in [0,2]$

这相当于说它是单调不降的并且最大值与最小值差不会超过$2$。
单调不降这点是比较好理解的，对于$j<k(j,k\in [0,A_i])$，如果$k$的最优转移点为$p_k$的话，那么我们先假令$j$也从$p_k$转移过来有：
$$[j>p_k]+[A_i-j<A_{i-1}-p_k]⩽[k>p_k]+[A_i-k<A_{i-1}-$$

Leetcode 745. Prefix and Suffix Search

[LeetCode] Prefix and Suffix Search 前后缀搜索

AtCoder Prefix Median（AGC012）

mybatis之<trim prefix="" suffix="" suffixOverrides="" prefixOverride

D. Prefix-Suffix Palindrome （马拉车）

Prefix-Suffix Palindrome (Hard version) (Manacher)