四元数入门（简单容易理解）

Posted 2022-06-30 HNFXS985

tags:

篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了四元数入门（简单容易理解）相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

本文参考网上的一些文章，进行了一些整理和注释。理解了下面的main函数执行的过程基本就能理解四元数的大致过程。

以下是内容：

四元数常常可以在3D的书上看到。
但我的那本3D图形学书上，在没讲四元数是干什么的之前，就列了几张纸的公
式，
大概因为自己还在上高中，不知道的太多，看了半天没看懂。。。
终于，在gameres上看到了某强人翻译的一个“4元数宝典 ”（原文是日本人写
的。。。），感觉很好，分享下。
★旋转篇：
　我将说明使用了四元数（si yuan shu, quaternion）的旋转的操作步骤
（１）四元数的虚部，实部和写法
所谓四元数，就是把4个实数组合起来的东西。
4个元素中，一个是实部，其余3个是虚部。
比如，叫做Q的四元数，实部t而虚部是x,y,z构成，则像下面这样写。
Q = (t; x, y, z)
又，使用向量 V=(x,y,z)，
Q = (t; V)
也可以这么写。
正规地用虚数单位i,j,k的写法的话，
Q = t + xi + yj + zk
也这样写，不过，我不大使用
（２）四元数之间的乘法
虚数单位之间的乘法
ii = -1, ij = -ji = k (其他的组合也是循环地以下同文)
有这么一种规则。（我总觉得，这就像是向量积（外积），对吧）
用这个规则一点点地计算很麻烦，所以请用像下面这样的公式计算。
A = (a; U)
B = (b; V)
AB = (ab - U·V; aV + bU + U×V)
不过，“U·V”是内积，「U×V」是外积的意思。
注意：一般AB<>BA所以乘法的左右要注意！
（3）3次元的坐标的四元数表示
如要将某坐标(x,y,z)用四元数表示，
P = (0; x, y, z)
则要这么写。
另外，即使实部是零以外的值，下文的结果也一样。用零的话省事所以我推荐。
（４）旋转的四元数表示
以原点为旋转中心，旋转的轴是(cosα, cosβ, cosγ) 【原文用额是α而不是cosα，这里和下面相对应部分改动下便于理解，因为α一般就是指角度】
（但 cosα^2 + cosβ^2 + cosγ^2 = 1），
（右手系的坐标定义的话，望向向量(cosα, cosβ, cosγ)的前进方向反时针地）

【注意，这里α, β, γ指的是旋转轴这个向量相对各个坐标轴的角度。说的简单点就是cosα=x坐标/向量的长度，其中向量的长度是sqrt(x坐标的平方+y坐标的平方+z坐标的平方)】
转θ角的旋转，用四元数表示就是，
Q = (cos(θ/2); cosα sin(θ/2), cosβ sin(θ/2), cosγ sin(θ/2))
R = (cos(θ/2); -cosα sin(θ/2), -cosβ sin(θ/2), -cosγ sin(θ/2))
(另外R 叫 Q 的共轭四元数。）
那么，如要实行旋转，
则 R P Q = (0; 答案)
请像这样三明治式地计算。这个值的虚部就是旋转之后的点的坐标值。
（另外，实部应该为零。请验算看看）
例子代码
/// Quaternion.cpp
/// (C) Toru Nakata, toru-nakata@aist.go.jp
/// 2004 Dec 29
#include <math.h>
#include <iostream.h>
/// Define Data type
typedef struct

double t; // real-component
double x; // x-component
double y; // y-component
double z; // z-component
quaternion;

Bill 注：Kakezan 在日语里是 “乘法”的意思

//按照定义，两个四元数相乘结果还是一个四元数
quaternion Kakezan(quaternion left, quaternion right)

quaternion ans;
double d1, d2, d3, d4;
d1 = left.t * right.t;
d2 = -left.x * right.x;
d3 = -left.y * right.y;
d4 = -left.z * right.z;
ans.t = d1+ d2+ d3+ d4;
d1 = left.t * right.x;
d2 = right.t * left.x;
d3 = left.y * right.z;
d4 = -left.z * right.y;
ans.x = d1+ d2+ d3+ d4;
d1 = left.t * right.y;
d2 = right.t * left.y;
d3 = left.z * right.x;
d4 = -left.x * right.z;
ans.y = d1+ d2+ d3+ d4;
d1 = left.t * right.z;
d2 = right.t * left.z;
d3 = left.x * right.y;
d4 = -left.y * right.x;
ans.z = d1+ d2+ d3+ d4;
return ans;

Make Rotational quaternion

//四个参数从左至右依次是要旋转的角度radian（也就是上面所说的θ角，使用弧度制）

//AxisX是旋转轴这个向量的x坐标，AxisY和AxisZ同理

//整个函数的返回值返回的是“用旋转角度和旋转轴向量”表示的四元数

//也就是上面所说的Q = (cos(θ/2); cosα sin(θ/2), cosβ sin(θ/2), cosγ sin(θ/2))，返回的就是Q
quaternion MakeRotationalQuaternion(double radian, double AxisX, double AxisY, double AxisZ)

quaternion ans;
double norm;
double ccc, sss;
ans.t = ans.x = ans.y = ans.z = 0.0;
norm = AxisX * AxisX + AxisY * AxisY + AxisZ * AxisZ;
if(norm <= 0.0) return ans;
norm = 1.0 / sqrt(norm);
AxisX *= norm; //此句过后，AxisX=x坐标/向量的长度，所以此时AxisX就相当于上面所说的cosα
AxisY *= norm;
AxisZ *= norm;
ccc = cos(0.5 * radian);
sss = sin(0.5 * radian);
ans.t = ccc;
ans.x = sss * AxisX;
ans.y = sss * AxisY;
ans.z = sss * AxisZ;
return ans;

Put XYZ into quaternion
quaternion PutXYZToQuaternion(double PosX, double PosY, double PosZ)

quaternion ans;
ans.t = 0.0;
ans.x = PosX;
ans.y = PosY;
ans.z = PosZ;
return ans;

/ main
int main()

double px, py, pz;
double ax, ay, az, th;
quaternion ppp, qqq, rrr;
cout << "Point Position (x, y, z) " << endl;
cout << " x = ";
cin >> px; //px变量保存待旋转点P的x坐标，是输入参数
cout << " y = ";
cin >> py;
cout << " z = ";
cin >> pz;
ppp = PutXYZToQuaternion(px, py, pz);
while(1)
cout << "\\nRotation Degree ? (Enter 0 to Quit) " << endl;
cout << " angle = ";
cin >> th; //th保存待旋转点将要围绕旋转轴旋转的角度，这里使用角度值，是输入参数
if(th == 0.0) break;
cout << "Rotation Axis Direction ? (x, y, z) " << endl;
cout << " x = ";
cin >> ax; //ax保存旋转轴向量的x坐标，是输入参数
cout << " y = ";
cin >> ay;
cout << " z = ";
cin >> az;
th *= 3.1415926535897932384626433832795 / 180.0; /// 角度制转为弧度制;
qqq = MakeRotationalQuaternion(th, ax, ay, az); //qqq是指上面所说的四元数Q
rrr = MakeRotationalQuaternion(-th, ax, ay, az); //rrr是指上面所说的四元数Q的共轭四元数R
ppp = Kakezan(rrr, ppp);
ppp = Kakezan(ppp, qqq); //以上两步完成R P Q = (0; 答案);这一步
cout << "\\nAnser X = " << ppp.x //ppp.x是旋转过后P点的x坐标，是输出值
<< "\\n Y = " << ppp.y
<< "\\n Z = " << ppp.z << endl;

return 0;

总结：main函数里面输入了待旋转的点、要旋转的角度、旋转轴向量这些输入值，最终求得旋转后的点。

下面是Ogre中关于四元数的一些教程，转自：http://blog.csdn.net/kevinlynx/article/details/1701354

想象一个物体在3D空间中移动的过程，该物体必然会涉及到旋转。例如一个怪物，他的运动方向会改变，要改变其方向只需要对其进行旋转即可。

旋转的方式大致分为三种：Euler旋转，矩阵旋转，以及四元数旋转。

这里稍微记录下我目前对于四元数旋转的理解。对于四元数方面的数学，以及其原理，这里不关心，只需要学会如何使用即可。

无论是哪一种旋转，物体与该物体的局部坐标系之间的相对位置，相对方位都是不会改变的。因此，在进行两个局部旋转（即相对于局部坐标系）时，要注意结果可能不是你预期的。

对于Euler旋转，OGRE中为SceneNode提供了yaw, pitch, roll之类的接口。这些接口默认都是参照局部坐标系旋转，可以通过第二个参数来指定，例如 yaw( Degree( 90 ), SceneNode::TS_WORLD );

OGRE中的Quaternion类用于四元数处理。该类（也可以说是四元数本身）有四个成员：x,y,z,w。这四个数分别代表什么？

在OGRE论坛上我找到了一些可以让人很容易理解的信息：

Quaternions can seem pretty daunting because of the use of 'imaginary' numbers. It's much easier to understand if you just ignore this concept completely. The basic formula for creating a quaternion from angle/axis is:

Q = cos (angle/2) + i (x * sin(a/2)) + j (y * sin(a/2)) + k(z * sin(a/2))

Code:

Q.w = cos (angle / 2)

Q.x = axis.x * sin (angle / 2)

Q.y = axis.y * sin (angle / 2)

Q.z = axis.z * sin (angle / 2)

稍微忽略下那些复数之类的概念，使用角度/轴的方式创建四元数的公式为：

Q = cos (angle/2) + i (x * sin(a/2)) + j (y * sin(a/2)) + k(z * sin(a/2))

对应的代码为：

Q.w = cos (angle / 2)

Q.x = axis.x * sin (angle / 2)

Q.y = axis.y * sin (angle / 2)

Q.z = axis.z * sin (angle / 2)

再看一下OGRE中关于Quaternion的一个构造四元数的函数源代码：

void Quaternion::FromAngleAxis (const Radian& rfAngle,

const Vector3& rkAxis)

// assert: axis[] is unit length

// The quaternion representing the rotation is

// q = cos(A/2)+sin(A/2)*(x*i+y*j+z*k)

Radian fHalfAngle ( 0.5*rfAngle );

Real fSin = Math::Sin(fHalfAngle);

w = Math::Cos(fHalfAngle);

x = fSin*rkAxis.x;

y = fSin*rkAxis.y;

z = fSin*rkAxis.z;

虽然可以说四元数中的w代表旋转量，x, y, z代表对应轴，但是这也不全正确。因为我们看到，对于真正的旋转量啊之类的数据，是需要进行有些公式变换后，才得到w, x, y, z 的。

但是，即使如此，我们还是可以这样简单地构造一个四元数用于旋转：

Quaternion q( Degree( -90 ), Vector3::UNIT_X );

该构造函数第一个参数指定旋转角度，第二个参数指定旋转轴（可能不是），上面的代码就表示，饶着X轴（正X方向），旋转-90度。将该四元数用于一个Scene Node旋转：

sceneNode->rotate( q );

即可实现该node饶X轴旋转-90度的效果。

再看一下OGRE tutorial中的一段代码：

Vector3 src = mNode->getOrientation() * Vector3::UNIT_X;

Ogre::Quaternion quat = src.getRotationTo(mDirection);

mNode->rotate(quat);

SceneNode的getOrientation获得该node的方位，用一个四元数来表示。什么是方位？这里我也不清楚，但是对于一个四元数，它这里表示的是一种旋转偏移，偏移于初始朝向。

OGRE论坛上有这么一段话：

The reason there's no other way to convert a quaternion to a vector is because a quaternion is relative. It has no direction.

With a direction (like a vector) you could say "face north east".

But with a quaternion, you say "face 45 degrees clockwise from whatever direction you are already facing" (very simplified example). Without knowing which way the object is already facing, a quaternion is virtually meaningless with respect to orientation. So we just default it to some initial direction, like Unit Z, and make all orientations relative to that.

然后，getOrientation() * Vector3::UINT_X又会得到什么？我可以告诉你，第一句代码整体的作用就是获取该物体当前面向的方向。关于四元数与向量相乘，如图所示：

可以进一步看出，四元数表示了一个旋转偏移，它与一个向量相乘后就获得了另一个向量。该结果向量代表了这个旋转偏移所确定的方向。

那么第一句代码中为什么要乘上UNIT_X呢？因为这里所代表的物体的初始朝向就是正X方向。

第二句话由向量构造一个四元数，它表示，从当前的朝向，旋转到目的朝向所需要的一个四元数。第三句话就直接使用该四元数来旋转该node。但是有时候似乎旋转不正确（在我的实验中，我使用的模型其初始朝向是负Y方向，在初始化时我又将其饶着X轴旋转了负90度，后来旋转时就不正确了），这可以通过rotate( q, SceneNode::TS_WORLD)来矫正。（所以估计是之前旋转导致的错误）(有时候我在想，为什么对于所有物体的旋转之类的变换，都不直接参照于世界坐标系？因为我们最终看到的就是在世界坐标系中。)

注意，当旋转角度是180度时，这里就会出现错误，为了防止这种错误，可以这样做：

Vector3 src = mNode->getOrientation() * Vector3::UNIT_X;

if ((1.0f + src.dotProduct(mDirection)) < 0.0001f)

mNode->yaw(Degree(180));

else

Ogre::Quaternion quat = src.getRotationTo(mDirection);

mNode->rotate(quat);

// else

原因之类的可以参看OGRE tutorial。以上信息都是个人理解，行文也比较乱，主要是自己做的笔记，一些基本定义可以参看其他书籍。

2007-7-21

更深的理解：

一个四元数（Quaternion）其实描述了一个旋转轴和一个旋转角度。这个旋转轴和这个角度可以通过Quaternion::ToAngleAxis转换得到。当然也可以随意指定一个角度一个旋转轴来构造一个Quaternion。这个角度是相对于单位四元数而言的，也可以说是相对于物体的初始方向而言的。

当用一个四元数乘以一个向量时，实际上就是让该向量围绕着这个四元数所描述的旋转轴，转动这个四元数所描述的角度而得到的向量。

注意，对于这里的旋转轴而言，是有方向区别的。例如饶+x旋转90度和饶-x旋转90度就是不一样的。可以将其看做饶一个向量旋转，判别旋转正向只需要用右手握住向量，然后大拇指指向向量方向，四指弯曲的方向即为旋转正向。