动态规划：最长回文子串和子序列

Posted 2022-06-13 我家大宝最可爱

1. 回文子串

回文串就是正着读和反着读都一样的字符串，例如aba，aabb等，给定一个字符串，求最长回文子串。注意子串是指连续的

1.1左右扩展

左右扩展的思想很有意思，如果一个问题用到了左右扩展的想法，那么久直接定以两个范围l,r，这样就可以避免奇偶问题了

一种非常直接的想法就是从某个字符开始，向两边开始搜索，然后匹配字符是否相等

	<—向左搜索	某个字符	向右搜索—>
字符串	a	b	a
搜索边界	l		r

很容易想到有奇偶两种情况，当为奇数（‘aba’）时l=r=i，然后分别向两边移动，当为偶数(‘aabb’)时l=i,r=i+1

def helper(s,l,r):
    while l >= 0 and r < len(s) and s[l] == s[r]:
        l -= 1
        r += 1
    return s[l+1:r]
       
def longs(s):
    res = ''
    for i in range(len(s)):
        tmp = helper(s,i,i) # 奇数
        if len(tmp) > len(res):res = tmp
        tmp = helper(s,i,i+1) # 偶数
        if len(tmp) > len(res):res = tmp
    print(len(res))

s = input()
n = len(s)

longs(s)

1.2 动态规划

动态规划的想法也是非常简单的，假如i+1~j-1之间的字符串时回文字符串，那么如果s[i]==s[j]则i~j之间的字符串也是回文子串，如果不相等，那么则不是回文子串，由此可以列出状态转移方程dp[i][j]=dp[i+1][j-1] and s[i]==s[j]。然后我们考虑初始条件，如果i==j则dp[i][i]=True，一个字符肯定时回文串，两个字符和三个字符时则为dp[i][j] = (s[i] == s[j])，只需要考虑两边的字符即可。
可以看到，计算dp[i][j]用到了未来的状态dp[i+1][j]，因此i需要反向迭代，即大到小。

原始字符串	a	b	c	a	c	b	a
子序列1	a	b			b		a

class Solution:
    def longestPalindrome(self, s: str) -> str:
        n = len(s)
        dp = [[False for j in range(n)] for i in range(n)]
        max_len = 0
        max_str = ''

        for i in range(n-1,-1,-1):
            for j in range(i,n):
                if s[i] == s[j]:
                    if j-i<=2:
                        dp[i][j] = True
                    else:
                        dp[i][j] = dp[i+1][j-1]
                if dp[i][j] and j - i + 1 > max_len:
                    max_len = j - i + 1
                    max_str = s[i:j+1]
        return max_str

最长回文子序列

子序列跟子串的一个最主要的区别在于是否连需，字符时不需要连需的，举个例子

原始字符串	a	b	c	a	b	c	a
子序列1	a	b			b		a
子序列2	a		c			c	a
子序列3	a			a			a
子序列4	a		c	a		c	a
子序列5	a	b		a	b		a
子序列n	…

可以看到回文子序列时完全不需要连续的，那么现在的问题就是如何求解最长子序列呢？假如我们求出了i+1~j-1之间的最长子序列，那么如何求解i~j之间的最长子序列呢？

i	i+1						j-1	j
s[i]	a	b	c	a	b	c	a	s[j]

我们假设dp[i+1][j-1]是字符串i+1~j-1的最长回文子序列的长度，

1. 当s[i]==s[j]时，有dp[i][j] = dp[i+1][j-1]+2

i	i+1						j-1	j
s[i]	a	b	c	a	b	c	a	s[j]

2. 当s[i]!=s[j]时，这个时候就有意思了，也会分成两种情况，第一种时求i+1~j之间的最长回文序列，第二种就是求 i~j-1之间的最长回文子序列

	i	i+1						j-1	j
原始	s[i]	a	b	c	a	b	c	a	s[j]
i+1~j		a	b	c	a	b	c	a	s[j]
i~j-1	s[i]	a	b	c	a	b	c	a

此时有dp[i][j]=max(dp[i][j-1],dp[i+1][j])

状态转移方程我们已经得到了，下一步就是看看base，可以知道dp[i][i]=1，因为我们时从i~j，所以有j>i，如果j<i，那么就不可能得到回文序列，因此有dp[i][j]=0 if j < i

现在就剩一个边界问题了，求dp[i][j]需要用到dp[i+1][j]，即求解i位置的时候用到了未来的i+1位置，为了保证可以正常计算，我们需要将i按照递减的方式来更新，j则用到了j和j-1，所以使用递增计算即可

    def longestPalindromeSubseq(self, s: str) -> int:
        n = len(s)
        dp = [[1 if i==j else 0 for i in range(n)] for j in range(n)]
        for i in range(n-1,-1,-1):
            for j in range(i+1,n):
                if s[i] == s[j]:
                    dp[i][j] = dp[i+1][j-1] + 2
                else:
                    dp[i][j] = max(dp[i+1][j],dp[i][j-1])
        return dp[0][-1]

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