[bzoj1013][JSOI2008][球形空间产生器sphere]

Posted 2020-08-25 AronQi

Description

　　有一个球形空间产生器能够在n维空间中产生一个坚硬的球体。现在，你被困在了这个n维球体中，你只知道球
面上n+1个点的坐标，你需要以最快的速度确定这个n维球体的球心坐标，以便于摧毁这个球形空间产生器。

Input

　　第一行是一个整数n(1<=N=10)。接下来的n+1行，每行有n个实数，表示球面上一点的n维坐标。每一个实数精确到小数点
后6位，且其绝对值都不超过20000。

Output

　　有且只有一行，依次给出球心的n维坐标（n个实数），两个实数之间用一个空格隔开。每个实数精确到小数点
后3位。数据保证有解。你的答案必须和标准输出一模一样才能够得分。

Sample Input

2
0.0 0.0
-1.0 1.0
1.0 0.0

Sample Output

0.500 1.500

HINT

　　提示：给出两个定义：1、 球心：到球面上任意一点距离都相等的点。2、 距离：设两个n为空间上的点A, B

的坐标为(a1, a2, …, an), (b1, b2, …, bn)，则AB的距离定义为：dist = sqrt( (a1-b1)^2 + (a2-b2)^2 +

… + (an-bn)^2 )

Solution

这是一个超球球心坐标问题

设球心坐标为(a1,a2,a3,...,an)，球的半径为R

则对于任意一个球上的点(x1,x2,x3,...,xn)，有(x1-a1)^2+(x2-a2)^2+(x3-a3)^2+...+(xn-an)^2=R这样的式子

那么在得知所有点的坐标时，我们对其预处理，用上下两式相减，消去R，得到另一个二次的式子，将二次项坐标系数放到等号右边，其余放在左边相应位置，即构造出了高斯消元用的方程组

剩余的就是gauss消元的模板了，0ms通过评测，程序如下

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
const int N=15;
int n;
double pos[N][N],f[N][N];
void gauss(){
  for(int i=1;i<=n;i++){
    int t=i;
    for(int j=i+1;j<=n;j++)
      if(fabs(f[j][i])>fabs(f[t][i]))
    t=j;
    if(t^i)
      for(int j=i;j<=n+1;j++)
    swap(f[i][j],f[t][j]);
    for(int j=i+1;j<=n;j++){
      double x=f[j][i]/f[i][i];
      for(int k=i;k<=n+1;k++)
    f[j][k]-=f[i][k]*x;
    }
  }
  for(int i=n;i>=1;i--){
    for(int j=i+1;j<=n;j++)
      f[i][n+1]-=f[j][n+1]*f[i][j];
    f[i][n+1]/=f[i][i];
  }
}
void output(){
  for(int i=1;i<=n;i++){
    printf("%.3lf",f[i][n+1]);
    if(i^n)
      putchar(‘ ‘);
    else
      putchar(‘\n‘);
  }
}
int main(){
  scanf("%d",&n);
  for(int i=1;i<=n+1;i++){
    for(int j=1;j<=n;j++){
      scanf("%lf",&pos[i][j]);
      if(i^1){
    f[i-1][j]=2*(pos[i][j]-pos[i-1][j]);
    f[i-1][n+1]+=pos[i][j]*pos[i][j]-pos[i-1][j]*pos[i-1][j];
      }
    }
  }
  gauss();
  output();
  return 0;
}