信号与系统分析2022春季作业-参考答案：第十二次作业
Posted 卓晴
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§12 参考答案
1.1 系统函数与系统框图
1.1.1 根据输入输出求系统函数
◎ 求解：
（1） 求系统函数
H
(
s
)
H\\left( s \\right)
H(s)
将系统输入以及零状态输出都进行拉普拉斯变换， X ( s ) = L [ x ( t ) ] = L [ 3 e − 2 t ⋅ u ( t ) ] = 3 s + 2 X\\left( s \\right) = L\\left[ x\\left( t \\right) \\right] = L\\left[ 3e^ - 2t \\cdot u\\left( t \\right) \\right] = 3 \\over s + 2 X(s)=L[x(t)]=L[3e−2t⋅u(t)]=s+23 L [ y ( t ) ] = L [ ( e − t − 2 e − 2 t − 5 e − 3 t ) ⋅ u ( t ) ] L\\left[ y\\left( t \\right) \\right] = L\\left[ \\left( e^ - t - 2e^ - 2t - 5e^ - 3t \\right) \\cdot u\\left( t \\right) \\right] L[y(t)]=L[(e−t−2e−2t−5e−3t)⋅u(t)] = 1 s + 1 − 2 s + 2 − 5 s + 3 = − 6 s 2 + 18 s + 10 s 3 + 6 s 2 + 11 s + 6 = 1 \\over s + 1 - 2 \\over s + 2 - 5 \\over s + 3 = - 6s^2 + 18s + 10 \\over s^3 + 6s^2 + 11s + 6 =s+11−s+22−s+35=−s3+6s2+11s+66s2+18s+10
所以，系统函数
H ( s ) = Y ( s ) X ( s ) = − 6 s 2 + 18 s + 10 3 s 2 + 12 s + 9 H\\left( s \\right) = Y\\left( s \\right) \\over X\\left( s \\right) = - 6s^2 + 18s + 10 \\over 3s^2 + 12s + 9 H(s)=X(s)Y(s)=−3s2+12s+96s2+18s+10
（2） 将 H ( s ) H\\left( s \\right) H(s) 进行拉普拉斯反变换，可以得到系统的单位冲激响应。 H ( s ) = − 2 + 5 3 ( s + 3 ) + 1 3 ( s + 1 ) H\\left( s \\right) = - 2 + 5 \\over 3\\left( s + 3 \\right) + 1 \\over 3\\left( s + 1 \\right) H(s)=−2+3(s+3)5+3(s+1)1 h ( t ) = − 2 δ ( t ) + 5 3 e − 3 t + 1 3 e − t , t ≥ 0 h\\left( t \\right) = - 2\\delta \\left( t \\right) + 5 \\over 3e^ - 3t + 1 \\over 3e^ - t ,\\,\\,\\,t \\ge 0 h(t)=−2δ(t)+35e−3t+31e−t,t≥0
1.1.2 根据系统框图分析系统
◎ 求解：
（1） 求解系统函数 H ( z ) H\\left( z \\right) H(z)
在系统框图中增加中间变量 W ( z ) W\\left( z \\right) W(z) ，依次写出系统框图中各节点中间变量。
▲ 图1.1.1 在系统框图中增加中间变量
然后，根据第二个和第三个综合器列写出平衡方程：
W
(
z
)
=
X
(
z
)
−
2
z
−
2
W
(
z
)
+
3
z
−
1
W
(
z
)
W\\left( z \\right) = X\\left( z \\right) - 2z^ - 2 W\\left( z \\right) + 3z^ - 1 W\\left( z \\right)
W(z)=X(z)−2z−2W(z)+3z−1W(z)
Y
(
z
)
=
4
W
(
z
)
+
5
z
−
1
W
(
z
)
Y\\left( z \\right) = 4W\\left( z \\right) + 5z^ - 1 W\\left( z \\right)
Y(z)=4W(z)+5z−1W(z) 经过整理得：
(
1
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