[NOI2021]机器人游戏

Posted 2022-06-01 StaroForgin

机器人游戏

题解

听Cirno的蛊惑，来做了这道题，然后调了好久…

首先，我们根据样例解释，应该比较容易想到通过容斥来解决这个问题。
我们可以计算对于每个起点的组合，有多少个对于它合法的$X,Y$组合。
显然，在有多个起点时，它会被几个不同的转移状况覆盖，那么我们就可以通过覆盖到它的转移状态。
总共的转移状态有四种，$0$表示与之前相同，$1$表示与之前不同，$2$表示被赋值为$0$，$3$表示赋值为$1$。
每种操作对于每个点的转移状态我们可以预处理出来。
显然，对于有至少一个起点的固定输入串，它的输出串是唯一的，毕竟每个字符的变化状态是固定的。
如果一个点作起点会爆掉，那这整个串就只能为空，特殊处理一下。
如果一个点同时被$0$与$1$或者$2$与$3$覆盖，那它就只有空格一种选择。
如果一个点同时被$0$与$1$中的一个和$2$与$3$中的一个覆盖，他就有$0/1$中的某个数即空格两种选择。
否则，显然这个点是有$3$种选择。
我们可以尝试对于一个起点组合，求出每个位置的倍覆盖情况。
暴力枚举起点集合，对于每个集合单独计算是$O\left(2^n{n}^{2}m\right)$的。
如果我们通过$S$从$S\oplus lowbit(x)$转移过来，可以做到$O\left(2^{n}nm\right)$，大概有$20pts$。

考虑优化。
显然，对于$n⩽32$这个数据范围，我们很容易想到折半来优化。
分析一下，如果我们现在对于一个没有爆掉的串，它有用的起点个数。
如果它走的步数大于$\frac{n}{2}$，显然它有用的起点不会超过前面半，后面都会爆掉。
如果它走的步数小于$\frac{n}{2}$，真正对我们当前讨论点有用的起点也就只有这个带点前面不超过$\frac{n}{2}$个点，再前面就只有考虑有没有点被选即可，因为它们也只会让这个点拥有状态$0$。
由于涉及到有的起点可能会爆炸的问题，使得会导致有的行只能为空，对每个位置产生的贡献造成影响。
我们可以考虑枚举最后一个被选择的起点在哪里。
如果这个点在前半段，之间像我们上面的做法一样，枚举状态即可。
如果这个点在后半段，可以考虑状压$dp$。
我们就可以考虑记$d{p}_{i,S,0/1}$表示现在我们转移到了第$i$个位置，前面不超过$\frac{n}{2}$个点的状态为$S$，在前面有没有选择点作为起点。
每次预处理一下，对于一个节点，它前面的起点选择状态为$S,0/1$时，它这一列所有纸条该位置的贡献乘积。
这样总共要预处理$n$次，每次预处理时间复杂度$O\left(2^{\frac{n}{2}}m\right)$，预处理后进行一次$dp$转移的复杂度为$2^{\frac{n}{2}}n$。
这样的话可以做到$O\left(2^{\frac{n}{2}}n(m+n)\right)$，大概有$48pts$。

我们看看还有没有可以优化的地方。
我们预处理的时候那个$m$非常显眼，$m$是$⩽1000$的，就是它这里复杂度很大，后面$dp$的$n$就很小。
其实我们这里只涉及被某几个状态覆盖的该位置的纸条计数的计算，每个状态的表示事实上都是$bool$类型，转移也就是$or$或者$and$。
这不是显然可以通过$\text{bitset}$进行优化吗？恰好我们的计数$\text{bitset}$也是可以轻松解决的。
我们记录$b_{i,0/1/2/3}$表示距离起点距离为$i$，有哪些纸条被状态$0/1/2/3$覆盖。
之后的转移与求解比较容易，直接操作即可。
恰好我们前面那个枚举的部分也是能用类似的方法优化的。
于是我们轻松的把这部分优化到了$O\left(\frac{2^{\frac{n}{2}}m}{\omega }\right)$。

总时间复杂度$O\left(2^{\frac{n}{2}}(n+\frac{m}{\omega })n\right)$。
然而$\mathrm{O}\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{I}\mathrm{n}\mathrm{D}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{k}$会$O\left(2^{\frac{n}{2}}n+nm\right)$的做法，快点膜它。

源码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int,int> pii;
#define MAXN 1005
#define MAXM (1<<16)+5
#define pb push_back
#define mkpr make_pair
#define fir first
#define sec second
#define lowbit(x) (x&-x)
const int mo=1e9+7;
const int jzm=23;
const int zero=200000;
template<typename _T>
_T Fabs(_T x)return x<0?-x:x;
template<typename _T>
void read(_T &x)
    _T f=1;x=0;char s=getchar();
    while(s<'0'||s>'9')if(s=='-')f=-1;s=getchar();
    while('0'<=s&&s<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+(s^48);s=getchar();
    x*=f;

int add(int x,int y,int p)return x+y<p?x+y:x+y-p;
void Add(int &x,int y,int p)x=add(x,y,p);
int qkpow(int a,int s,int p)int t=1;while(s)if(s&1)t=1ll*a*t%p;a=1ll*a*a%p;s>>=1;return t;
int n,m,len[MAXN],low[MAXM],hig[MAXM],bit[MAXM],pw2[MAXN],pw3[MAXN];
int dp[2][MAXM][2],g[MAXM][2],ans;char str[105];
bitset<MAXN>b[35以上是关于[NOI2021]机器人游戏的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
 
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