[NOI2020]制作菜品

Posted 2022-06-01 StaroForgin

制作菜品

题解

首先我们要关注到一个非常重要的条件，$m⩾n-2$。
好吧，我也不知道如何阐述这个条件的重要性，不过 我们只需要考虑这个范围内的$m$。
我们先看看那个$m=n-1$的部分分，看看这个部分分有没有什么特殊的解法。
假设把所有菜的量从小到大排序为$d_1,d_2,...,d_n$,观察一下这个数列会有什么样的性质：

• $d_1<K$，否则$\sum d>mK$，显然不行。
• $d_1+d_n⩾K$，否则$d_2,...,d_{n-1}$也是小于$K$的，加起来不可能达到$mK$。

有了上面的结论，我们就可以想想做法了。
显然，我们每次可以从将$d_1$全部去掉，再从$d_n$中去掉不够的部分。
这样，就能让我们的$n,m$都减$1$直到$n=2$。
而$n=2$时直接全选$d_1+d_2$就可以得到$K$了。
于是，我们顺利地解决了$m=n-1$的问题，考虑$m⩾n-1$的部分是否能用类似额方法解决。
显然，此时势必存在一个$d_i>K$，我们可以考虑从$d_i$中去掉一个$K$，使得$m$减一，直到$m=n-1$。或者所有的$d_i$都等于$K$，直接一一匹配即可。

那么我们$m=n-2$的部分该怎么解决呢？
不妨猜一猜，如果我们能将其拆分成两个$m=n-1$的子问题就有解，否则无解。
其必要性是肯定成立的，毕竟拆分后就能按照我们上面的思路进行求解。
至于充分性，我们可以这样想，如果一份菜用了两份食材，就在这两份食材间连边。
显然，我们最多只有$m=n-2$条边，最少也会形成两个连通块，只有当这两个连通块构成$m=n-1$的子问题时才有解。
这就很好的证明了我们的问题。

那么我们要怎么去找这个拆分呢？
由于要满足条件${\sum }_{i=1}^n=(n-1)K$，将右边的减过去，也就构成了一个背包匹配问题，除了第一个外没多选一个就加上它的权值减$K$，直到权值和为$0$。
我们看看有没有让背包总和为$0$的解即可。
当然，直接做背包可能会$T$，可以用$\text{bitset}$进行优化，毕竟都是$bool$变量。

时间复杂度$O\left(T(n\log n+\frac{n^{2}K}{\omega })\right)$。

源码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
typedef pair<int,int> pii;
#define MAXN 1005
#define MAXM 1250005
#define pb push_back
#define mkpr make_pair
#define fir first
#define sec second
#define lowbit(x) (x&-x)
const int mo=1e9+7;
const int jzm=23;
const int zero=200000;
template<typename _T>
_T Fabs(_T x)return x<0?-x:x;
template<typename _T>
void read(_T &x)
    _T f=1;x=0;char s=getchar();
    while(s<'0'||s>'9')if(s=='-')f=-1;s=getchar();
    while('0'<=s&&s<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+(s^48);s=getchar();
    x*=f;

int add(int x,int y,int p)return x+y<p?x+y:x+y-p;
void Add(int &x,int y,int p)x=add(x,y,p);
int qkpow(int a,int s,int p)int t=1;while(s)if(s&1)t=1ll*a*t%p;a=1ll*a*a%p;s>>=1;return t;
int T,n,m,K,tota,totb,val[505],a[505],b[505],ord[505],idx;
bitset<MAXM>st[505];
bool cmp(int x,int y)return val[x]>val[y];
priority_queue<pii>q1;
priority_queue<pii,vector<pii>,greater<pii> >q2;
vector<pii>ans[5005];
void sakura(int len,int *d)
    while(!q1.empty())q1.pop();for(int i=1;i<=len;i++)q1.push(mkpr(val[d[i]],d[i]));
    while(!q2.empty())q2.pop();for(int i=1;i<=len;i++)q2.push(mkpr(val[d[i]],d[i]));
    while(!q1.empty()&&!q2.empty())
        while(!q1.empty())if(val[q1.top().sec]!=q1.top().fir)q1.pop();else break;
        while(!q2.empty())if(val[q2.top().sec]!=q2.top().fir)q2.pop();else break;
        if(q1.empty()||q2.empty())break;idx++;
        pii t1=q1.top(),t2=q2.top();int x=t1.sec,y=t2.sec;
        ans[idx].pb(mkpr(y,val[y]));ans[idx].pb(mkpr(x,K-val[y]));
        val[x]-=K-val[y];val[y]=0;q1.pop();q2.pop();
        if(val[x])q1.pushBZOJ2879: [Noi2012]美食节

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