浅析加密算法七RSA密码

Posted 2022-06-01 MangataTS

文章目录

• • 一、简介
  • 二、原理
  • • 2.1 加密过程
    • 2.2 计算n的欧拉函数
    • 2.3 逆元计算
    • 2.4 高次幂的计算
    • 2.5 举例
  • 三、优缺点
  • • 3.1 优点：
    • 3.2 缺点
  • 四、题外话大质数判定
  • • 4.1 随机算法
    • 4.2 确定型启发式算法
  • 五、RSA签名
  • • 5.1 签名
    • 5.2 验证
  • 5.3 举例

一、简介

• RSA公开密钥密码体制是一种使用不同的加密密钥与解密密钥，“由已知加密密钥推导出解密密钥在计算上是不可行的”密码体制
• 在公开密钥密码体制中，加密密钥（即公开密钥）PK 是公开信息，而解密密钥（即秘密密钥） SK 是需要保密的。加密算法 E 和解密算法 D 也都是公开的。虽然解密密钥SK是由公开密钥 $PK$ 决定的，但却不能根据 PK 计算出 SK
• 正是基于这种理论， $1978$ 年出现了著名的RSA算法，它通常是先生成一对RSA密钥，其中之一是保密密钥，由用户保存；另一个为公开密钥，可对外公开，甚至可在网络服务器中注册。为提高保密强度，RSA密钥至少为 $500$ 位长，一般推荐使用 $1024$ 位。这就使加密的计算量很大。为减少计算量，在传送信息时，常采用传统加密方法与公开密钥加密方法相结合的方式，即信息采用改进的 DES 或 IDEA 对话密钥加密，然后使用 RSA 密钥加密对话密钥和信息摘要。对方收到信息后，用不同的密钥解密并可核对信息摘要
• RSA是被研究得最广泛的公钥算法，从提出到现在已近三十年，经历了各种攻击的考验，逐渐为人们接受，普遍认为是目前最优秀的公钥方案之一

二、原理

2.1 加密过程

步骤	说明	描述
1	选择一对不相等且足够大的质数	p,q
2	计算 $p,q$ 的乘积	$n=p\times q$
3	计算 $n$ 的欧拉函数	$\phi (n)=(p-1)\times (q-1)$
4	选一个与 $\phi (n)$ 互质的整数 $e$	$1<e<\phi (n)$
5	计算出 $e$ 对于 $\phi (n)$ 的模反元素（或者称其为逆元） $d$	$demod\phi (n)=1$
6	公钥	$KU=(e,n)$
7	私钥	$KR=(d,n)$

设明文为 $M$ ，密文为 $C$ 的话

• 加密操作： $M^{e}modn=C$
• 解密操作： $C^{d}modn=M$

2.2 计算n的欧拉函数

• 欧拉函数 是小于 $n$ 的正整数中与 $n$ 互质的数的数目
• 互质 是指公约数只有 $1$ 的两个整数
• 质数 是指在大于 $1$ 的自然数中，除了 $1$ 和它本身以外不再有其他因数的自然数

从上面的条件中，我们不难发现，对于一个质数 $n$ 而言，它的欧拉函数就是 $n-1$

• 如果 $n$ 可以分解为 $2$ 个互质 $p、q$ 的整数之积，那么 $n$ 的欧拉函数就等于这两个因子的欧拉函数之积，也就是 $\phi (n)=\phi (p)\times \phi (q)=(p-1)\times (q-1)$

2.3 逆元计算

对于逆元的计算，我们使用的是扩展欧几里得算法，对于数 $a$ ，因为我们是想找到一个 $x$ 使得 $a\times x$ 在模 $n$ 的意义下得到 $1$ ，那这个式子其实可以转化为：

$$a\times x+n\times y=1(modn)$$

其中我们需要求的就是 $x$ ，因为 $y$ 等于多少我们不在意，因为 $y$ 随便取一个非负整数都可以

那么这个式子一下子我们就能联想到贝祖定理，但是贝祖定理还有一个前提条件： 那就是 $a$ 和 $n$ 需要 互质

详细的过程可以查看：https://acmer.blog.csdn.net/article/details/122280910的 拓展欧几里得 部分

2.4 高次幂的计算

关于高次幂我们可以将其幂指数变为二进制，然后再逐步计算位为 $1$ 的数的值，然后再加起来，其实就是一个 快速幂 的实现过程

2.5 举例

三、优缺点

3.1 优点：

• RSA算法是国际标准算法，属于主流算法之一，相对来说也会更为普及，如果需要了解这方面的具体理论，RSA算法是必须要学习的一个算法。因为它在应用的过程之中会更为广泛，也不容易受到其他问题的限制
• RSA算法的兼容性比较广，能够适用于各种不同的系统之中，比起如今的一些新算法，RSA算法的兼容性令其在真正使用的过程之中更加方便，不会出现各种各样不同的限制
• RSA算法不像其他新算法一样复杂，它的构成相对来说更为简单，因为其难点在于对大数的质数分解

3.2 缺点

• RSA算法的加密长度为2048位，因此对于服务端的消耗是比较大的，所以计算的速度也会比较慢，效率相对较低
• RSA算法比起其他的算法而言，它的安全性并不算非常的高，容易被攻击，所以它的防御能力并不高
• RSA算法在运行的过程之中，内容使用比较多，这也是其效率低下、消耗高的原因之一

四、题外话大质数判定

由于现在的计算能力，不能对大数做一个准确质数的判定，所以当前只有一些素性检测的方法

4.1 随机算法

• 费尔马素性测试法
• Miller-Rabin 素性测试法
• Solovay–Strassen 素性测试法

4.2 确定型启发式算法

• AKS素性测试法
• Baillie–PSW素性测试法
• 试除法
• 卢卡斯素性测试法
• 卢卡斯-莱默素性测试法

五、RSA签名

5.1 签名

• 利用一个安全的 hash 函数 $h$ 产生信息摘要 $h(m)$
• 计算签名 $S=sig{n}_k(m)=h(m{)}^{d}modn$

5.2 验证

• 接收者使用相同的 $hash$ 函数 $h$ 计算消息摘要 $h(m)$
• 接收者验证 $h(m)modn=s^{e}modn$ 是否成立，如果成立，那么签名就有效，否则签名无效

这里验证其实也就是用到的逆元的知识

5.3 举例