深度学习:神经网络中的前向传播和反向传播算法推导

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了深度学习:神经网络中的前向传播和反向传播算法推导相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

1. 神经网络

这是一个常见的神经网络的图:
这是一个常见的三层神经网络的基本构成,Layer L1是输入层,Layer L2是隐含层,Layer L3是隐含层,当我们输入x1,x2,x3等数据时,通过隐含层的计算、转换,输出你的期望,当你的输入和输出是一样的时候,成为自编码模型(Auto-Encoder),而当你输入和输出是不一致的时候,也就是我们常说的人工神经网络。

2.  如何计算传播

首先我们先构建一个简单的网络层作为例子:
在这个网络层中有
  • 第一层输入层:里面包含神经元i1,i2,截距:b1,权重:w1,w2,w3,w4
  • 第二层是隐含层:里面包含h1,h2,截距:b2,权重:w5,w6,w7,w8
  • 第三层是输出层:里面包含o1,o2
我们使用sigmoid作为激活函数
假定我们输入数据 i1: 0.02 i2: 0.04 截距 b1:0.4 b2:0.7 期望的输出数据 o1:0.5  o2:0.9 未知的是权重w1,w2,w3,w4,w5,w6,w7,w8 我们的目的 是为了能的到o1:0.5 o2:0.9的期望的值,计算出w1,w2,w3....w8的权重值
先假如构造一个权重w1,w2,w3.....w8的值,通过计算获取到最佳的w1,w2,w3....w8的权重
权重的初使值:
w1=0.25
w2=0.25
w3=0.15
w4=0.20
w5=0.30
w6=0.35
w7=0.40
w8=0.35

2.1 前向传播

2.1.1 输入层到隐含层

NET(h1)=w1*i1+w2*i2+b1=0.25*0.02+0.25*0.04+0.4=0.005+0.01+0.4=0.415
神经元h1到输出h1的激活函数是sigmoid
OUT(h1)=1/(1+e^(-NET(h1)))=1/(1+0.660340281)=0.602286177
同理我们也可以获取OUT(h2)的值 NET(h2)=w3*i1+w4*i2+b1=0.15*0.02+0.20*0.04+0.4=0.003+0.008+0.4=0.411
OUT(h2)=1/(1+e^(-NET(h2)))=1/(1+0.662986932)=0.601327636

2.1.2 从隐含层到输出层

计算输出层的神经元o1, o2的值,计算方法和输出层到隐含层类似 NET(o1)=w5*h1+w6*h2+b2=0.3*0.602286177+0.35*0.601327636+0.7=0.180685853+0.210464672+0.7=1.091150525
OUT(o1)=1/(1+e^(-NET(o1)))=1/(1+0.335829891)=0.748598311
同理 NET(o2)=w7*h1+w8*h2+b2=0.4*0.602286177+0.35*0.601327636+0.7=0.240914471+0.210464672+0.7=1.151379143
OUT(o2)=1/(1+e^(-NET(o2)))=1/1.316200383=0.759762733
o1:0.748598311   o2:0.759762733 距离我们期望的 o1:0.5  o2:0.9还是有很大的距离

2.2 计算总误差

公式:
也就是我们需要计算每个期望误差的和 E(total)= E(o0)+E(o1)=(1/2)*(0.748598311-0.5)^2+(1/2)*(0.759762733-0.9)^2=0.01545028+0.009833246=0.025283526

2.3 反向传播

每一个权重对误差的影响,我们可以通过下图更直观的看清楚误差的反向传播

2.3.1 隐含层到输出层的权值更新

隐含层到输出层的权值,在上面的例子里是W5,W6,W7,W8
我们以W6参数为例子,计算W6对整体误差的影响有多大,可以使用整体误差对W6参数求偏导:


很明显并没有W6对Etotal的计算公式,我们只有W6对Net(o1)的计算公式 但根据偏导数的链式法则,我们可以将我们存在的推导公式进行链式乘法
我们来计算每一个公式的偏导:
  • 计算


这是一个复合函数的导数

为两个关于可导函数,则复合函数的导数为:


这里g(x)=target(o1)-out(o1)  g'(x)=-1
=-(0.5-0.748598311)=0.248598311

  • 计算
已知

我们来推导一下 : 还是复合函数的推导

最后推导的结果: =0.748598311*(1-0.748598311)=0.251401689*0.748598311=0.18819888
  • 计算

也就是 net(o1)'=out(h2)=0.601327636
最后我们的公式 = *out(h2)


= 0.248598311*0.18819888*0.601327636=0.028133669

2.3.1.1 跟新W6的权重

W6=W6-x* 其中 x 就是我们常说的学习速率,设置x学习速率为0.1 那么新的w6的权重就是
0.35-0.1* 0.028133669=0.347186633
相同的道理,我们也可以计算新的W5,W6,W7,W8的权重
可是如何计算和跟新W1,W2,W3,W4的权重呢?

2.3.2 隐含层的权值跟新

大概的算法还是和前面类似,如下图所展示:


计算公式:

2.3.2.1 计算

对Out(h1)来说Etotal并不依赖于Out(h1)计算,需要将Total分拆成两个Eo1和Eo2来计算 公式如下:
接着推导公式:
  • 计算
  • 同理也可以计算

2.3.2.2 计算



2.3.2.3 计算





最后三者相乘:

2.3.2.4 整体公式

根据前面的公式,我们可以推导出最后的公式



2.3.2.4 跟新W1的权重

和计算W6的权重一样:
设置学习速率,计算的到w1的权重值

3. 计算获取最佳的权重

我们将获取的新的权重不停的迭代,迭代一定的次数后直到接近期望值 o1:0.5 o2:0.9后,所的到权重w1...w8,就是所需要的权重。
 
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