数学思维系列线性变换

Posted 2022-05-28 ESOO

学习线性变换，老是被各种矩阵，各种向量整蒙了，在历史中，线性变换的由来非常有条理性，理解起来也不是很难，只是在现在的教课书中，这一节，被简写了，被我忽视了，回头再看看，就可以理解了。

咱们再出发，回到古典的数学问题中，我们一步步引入线性变换：

现实问题（鸡兔同笼）：

有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚。问笼中各有多少只鸡和兔？

古人想到了很多解题办法，我们举个例子：

假设法

    假设全是鸡：2×35=70（只）
    鸡脚比总脚数少：94－70=24 （只）
    兔子比鸡多的脚数：4-2=2（只）
    兔子的只数：24÷2=12 （只）
    鸡的只数：35－12=23（只）

    假设全是兔子：4×35=140（只）
    兔子脚比总数多：140-94=46（只）
    兔子比鸡多的脚数：4-2=2（只）
    鸡的只数：46÷2=23（只）
    兔子的只数：=35-23=12（只）

 

函数出现：

在200年前，有个伟大的数学家，发明了一种巧妙的数学方法解决类似问题

设鸡有x只，兔有y只。则 x+y=35 ; 2x+4y=94 ;

中学我们学过消元法，最终答案与假设法一直

 

行列式

又有了一个数学家，发现一个规律，这类方程的解，就和方程本身的实数项有关系，干脆，将这些项目按照一定的规律排列在一起，找到一个通用的方法，解决类似问题，所以就有了以下行列式：

 

将x，y带入就有了如下

 

线性变换

数学家这时候，小宇宙爆发，如果我们不指定后边的具体指，x，y也随机输入，是不是就是将原x，y（二维图形上的一个点）变化到了一个新的点

随机画了几个，图形如下

数学家，发现，这种图像类似于将原图形按照比例拉伸，压缩了，而且比例和矩阵有关系，我们将这种，不改变图形基础关系的，满足基本运算规律的变换，起个名字吧，线性变换就出来了，以后种种的性质，就有了具体的研究意义。