密码学之公钥密码体系：Rabin公钥密码方案

Posted 2022-05-20 摆渡沧桑

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文章目录

• • 一、Rabin公钥密码方案
  • 二、Rabin公钥密码加、解密方案
  • • 1. 密钥生成
    • 2. 加密方案
    • 3. 解密方案
  • 三、Rabin方案具体案例

一、Rabin公钥密码方案

Rabin密码体制，被认为是对RSA密码体制的改进，其安全性基于求合数的模平方根的难度。而这个困难性等价于求解因子分解。RSA算法中只要素数被分解，密码就会被破解。而Rabin方案其实可以看做为RSA方案的一个特例，但被证明破译的难度和分解大整数一样难度。
Rabin方案的特点：

1. Rabin 方案不是一一映射的，对于同一个密文，可能会有多个对应的明文；
2. Rabin算法的安全性基于求解合数模平方根困难性问题，破解难度和大整数分解相当；
3. Rabin算法可以看做为RSA算法的一个特例，即指数取2

二、Rabin公钥密码加、解密方案

1. 密钥生成

首先，随机选择两个大素数 $p,q$，并满足如下条件：
$$p\equiv q\equiv 3mod4$$
即$q,p$可以表示为$4k+3$的数学形式，在将得到的素数相乘:
$$n=q\ast p$$
其中，$n$即为公钥，$q,p$即为私钥。
想要破解通过公钥n破解对应的私钥，这是十分困难的。

2. 加密方案

加密过程为：
$$c\equiv m^2\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n$$
加密的过程很简单，与RSA相比，只是将指数改为常数$2$。当攻击者不知道私钥的情况下，拿到密文$c$时，想要恢复明文$m$,相当于需要求解密文$c$在模$n$时的平方根，这与大整数分解的难度是等价的。

3. 解密方案

解密时，求解密文$c$在模$n$下的平方根。即求解：
$$x^2\equiv c\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n$$
由于n可以分解为$p$和$q$，因此，根据中国剩余定理，可以将上面方程等价于如下方程组：
$$\begin{array}{l}{x}^2\equiv c\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p,\\ x^2\equiv c\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}q,\end{array}$$

由于$p\equiv q\equiv 3\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4$,因此，很容易求解方程组：
$$\begin{gathered} x\equiv y\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p,x\equiv -y\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p \\ x\equiv z\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}q,x\equiv -z\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}q \end{gathered}$$
经过组合，可以得到如下四个方程组：
$$\begin{array}{l}x\equiv y\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p\\ x\equiv z\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}q\end{array}$$$$\begin{array}{l}x\equiv -y\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p\\ x\equiv z\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}q\end{array}$$$$\begin{array}{l}x\equiv y\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p\\ x\equiv -z\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}q\end{array}$$$$\begin{array}{l}x\equiv -y\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p\\ x\equiv -z\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}q\end{array}$$
因此，有中国剩余定理可以解出每一个方程组的解，一共有$4$组解，因此可以看出，每一个密文所对应的明文均不唯一。
为了解决这个办法，可以在加密$m$时，在$m$的明文信息中加入私人信息，供解密使用。

三、Rabin方案具体案例

1. 选择$p=7,q=11,n=77$,因此，明文空间为$P=0,1,2,...,76$
2. 选择加密明文为$m=20$， 加密之后密文$c=20^{2}mod77=15$
3. 当$n$很大，无法破解时，我们无法计算，如果我们假设以及知道了$77$的两个因子为$7$和$11$，已知密文为$15$，求解明文$m$.
   $$\begin{gathered} m=\sqrt{c}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p \\ m=\sqrt{c}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}q \end{gathered}$$
   由于$p\equiv q\equiv 3\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4$,因此，有如下公式成立：
   $$m=c^{1/4(p+1)}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}p,m=-c^{1以上是关于密码学之公钥密码体系：Rabin公钥密码方案的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章密码学之公钥密码体系：Rabin公钥密码方案密码学之公钥密码体系：Rabin公钥密码方案密码学——公钥密码体系之背包算法1密码学——公钥密码体系之背包算法1密码学之公钥密码体系：RSA算法密码学之公钥密码体系：ElGamal算法}$$