一文讲透赫夫曼树算法

Posted 2022-05-04 犀牛饲养员

一什么是赫夫曼树

赫夫曼树是指带权路径最短的树，从根结点到叶子结点所经过的结点数(不包括根结点，包括叶子结点)叫路径，如果给叶子结点赋予权值，那么路径和权值的乘积就是访问该叶子结点的代价，对于一棵树来讲，使访问所有的叶子结点的代价最小的树，就是赫夫曼树。

比如下面三个图:

可以计算它们的带权路径长度，分别为

(a) 图是36

(b) 图是46

© 图是 35

所以c图是赫夫曼树。

二如何构造赫夫曼树

构造一棵赫夫曼树的步骤其实不复杂，简单来讲就是权值大的尽量靠近根结点，而且是越大的越靠近。这样得出的效果是权值越大的结点，可以经过相对较少的距离到达，从而使程序的效率提高。这里的所说的效率，即包括时间上也包括空间上，后面我会讲到两个应用例子，分别就是一个时间上的优化，一个空间上的优化。

赫夫曼本人给了一个基本的算法，如下:

(1) 将w1、w2、…，wn看成是有n 棵树的集合F(每棵树仅有一个根结点)；

(2) 在这些树中选出两个根结点的权值最小的树合并，作为一棵新树的左、右子树，且新树的根结点权值为其左、右子树根结点权值之和；

(3)从F中删除选取的两棵树，并将新树加入F

(4)重复(2)、(3)步，直到森林中只剩一棵树为止，该树即为所求得的哈夫曼树

三应用举例

了解的具体的算法之后，必须要知道它的应用场景，不然也就只能停留在理论阶段了。这里给出两个应用的例子。

比如统计一次考试中的学生成绩，划分为5个等级，60分以下为不及格，60到70之间是及格，70到80之间是中等，80到90之间是良好，90到100之间是优秀。本次考试各个阶段学生所占比例如下:

分数 0-59 60-69 70-79 80-89 90-100
比例 0.05 0.15 0.40 0.30 0.10

假设有10000个学生，然后我们用下面的代码来实现统计：

if (a < 60) b = “不及格”;
else if (a < 70) b = “及格”;
else if (a < 80) b = “中等”;
else if (a < 90) b = “良好”;
else b = “优秀”;

代码对应的树结构如下:

这样一共需要比较30000多次。上面的代码不管你的分数是多少，总要从小于60开始比较，比如一个学生的成绩是85，他要被比较四次才能有结果，不幸的是, 大部分学生的成绩都是在70到90之间，都要经过至少三次以上的比较才能完成。

如果我们能把这个占大多数人的分数区间放在前面，不就可以大大减少比较的次数了吗？先按照前面章节讲的步骤构造一棵赫夫曼树，如下图:

对应的代码是:

if (a >= 70 && a < 80) b = “中等”;
else if (a >= 80 && a < 90) b = “良好”;
else if (a >= 60 && a < 70) b = “及格”;
else if (a < 60) b = “不及格”;
else b = “优秀”;

这样比较的次数变为22000次，大大提高效率。

再来一个应用的例子。

电报传送时，一般要把字符转成二进制的编码，比如一串字符, “ABACCDA”, 四种字符，可以用二位表示一种，比如A是00, B是01, C是10, D是11，那么电报发送的就是00010010101100，对方收到电报时可以两位一组解出来。

上面的方法没有什么问题，但是一般传送电报肯定希望能用最短的长度传递尽量多的信息，是不是还可以优化呢。当然，我们用不同长度的编码来表示这些字符，出现次数多的字符尽可能的短，出现次数少的可以偏长一些，这样可以构造出一个比上面更短的电报编码。

上面的字符信息，A和C现的次数较多，分别为两次和三次，B和D都是一次。按照上面的方法来构造一棵赫夫曼树，如下:

规则是左0右1, 这样，A是0, B是110, C是10, D是111, 最后的编码是0110010101110, 一共是13个bit位，原来是14个bit位，确实变短了。

再来看看电报接收的一方收到这串编码能不能解出来，试一下发现可以正常解析，不会产生歧义。这是因为任意一个字符的编码都不是另一个字符的编码前缀。这也是二叉树本身自带的一个功能，我们通过这种左0右1的方式得到的编码就可以达到这种效果。

来继续看看代码实现。

定义它的存储结构，典型的二叉树，只是多了一个权值。

typedef struct

	int weight;
	int parent, lchild, rchild;
HTNode, *HuffmanTree;
 
typedef char **HuffmanCode;

HuffmanCode是一个字符串数组，用来保存叶子结点最终的编码结果。

存储空间是多少呢? 从前一章讲的构造赫夫曼树的过程可以找出规律，n个叶子结点所构造的赫夫曼树共有2n-1个结点，这就是我们要分配的空间。

int m = 2 * n - 1;
*HT = (HuffmanTree)malloc((m+1)*sizeof(HTNode));//多分配一个空间，0号不用

函数的接口形式如下:

bool HuffmanCoding(HuffmanTree *HT, HuffmanCode *HC, int *w, int n)

HT是最终构造的赫夫曼树，是个输出参数，HC也是个输出函数，就是个字符串数组，输出最终的编码。W存放n个叶子结点的权值，当然都是大于0的整数，n是叶子结点的个数, 最后这两个都是输入参数。

构造赫夫曼树的过程代码其实很简单:

//构建赫夫曼树
	for (i = n + 1; i <= m; i++)
	
		if (!Select(*HT, i - 1, &s1, &s2)) return false;
		(*HT)[s1].parent = i;
		(*HT)[s2].parent = i;
		(*HT)[i].lchild = s1;
		(*HT)[i].rchild = s2;
		(*HT)[i].weight = (*HT)[s1].weight + (*HT)[s2].weight;
	

select函数从HT[1…nEnd]中选出parent为0, 并且weight最小的两个结点，序号分别由s1 和 s2返回，它的实现如下:

static bool Select(HuffmanTree HT, int nEnd, int *s1, int *s2)

	int i = 0;
	int nComp = 0;
	
	nComp = MAX;
	*s1 = MAX;
	*s2 = MAX;
 
	//第一轮循环，找到最小的给s1
	for (i = 1; i <= nEnd; i++)
	
		if ((HT[i].weight < nComp) && (HT[i].parent == 0))
		
			nComp = HT[i].weight;
			*s1 = i;
		
			
	
 
	//第二轮循环，找到次小的给s2
	nComp = MAX;
 
	for (i = 1; i <= nEnd; i++)
	
		if ((HT[i].weight < nComp) && (i != *s1) && (HT[i].parent == 0))
		
			nComp = HT[i].weight;
			*s2 = i;
		
			
	
	if ((*s1 == MAX) || (*s2 == MAX))
	
		return false;
	
	return true;

编码的结果是保存在HC中的，为了方便采用逆向保存的形式，即从叶子到根求编码，然后输出时就是正向的了。

for (i = 1; i <= n; i++)
	
		start = n - 1;
		for (c = i, f = (*HT)[i].parent; f != 0; c = f, f = (*HT)[f].parent)
		
			//左0右1
			if ((*HT)[f].lchild == c)
			
				cd[--start] = '0';
			
			else
			
				cd[--start] = '1';
			
		
		(*HC)[i] = (char *)malloc((n - start));
		strcpy((*HC)[i], &cd[start]);