信号与系统分析2022春季作业-参考答案：第七次作业

Posted 2022-04-23 卓晴

 

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§00 作业题目

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  作业要求链接： 信号与系统2022春季学期第七次作业 : https://zhuoqing.blog.csdn.net/article/details/124014932

 

§01 参考答案

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1.1 信号频谱分析

1.1.1 求信号的频谱

  求解：

$f\left(t\right)$可以看成三角信号$f_t\left(t\right)$与方波信号$f_p\left(t\right)$的相乘。根据傅里叶变换时域乘积（频域卷积）定理，$f\left(t\right)$的频谱$F\left(\omega \right)$为：$$F\left(\omega \right)=\frac{1}{2\pi }{F}_T\left(\omega \right)\ast F_P\left(\omega \right)$$

  三角信号$f_t\left(t\right)$的傅里叶变换$F_T\left(\omega \right)$为：

$$F_T\left(\omega \right)={\tau }_{1}S{a}^2\left(\frac{\omega {\tau }_1}{2}\right)$$

等腰三角脉冲信号与等宽的矩形脉冲信号的频谱相差“三个2”。

  下面求周期方波信号$f_p\left(t\right)$的傅里叶变换。

  对于宽度为$\tau$，高度为2的矩形脉冲信号$f_{2\tau }\left(t\right)$的连续频谱$F_{2\tau }\left(\omega \right)$为：$$F_{2\tau }\left(\omega \right)=2\tau Sa\left(\omega \tau \right)$$

  将$f_{2\tau }\left(t\right)$安装周期$2\tau$进行周期延拓，形成周期信号$f_{2\tau p}\left(t\right)$，它对应的傅里叶变换$F_{2\tau P}\left(\omega \right)$是$F_{2\tau }\left(\omega \right)$进行离散化。

$$F_{2\tau P}\left(\omega \right)=\frac{\pi }{\tau }\sum _{n=-\infty }^{\infty }2\tau Sa\left(n\cdot \frac{\pi }{\tau }\right)\delta \left(\omega -n\cdot \frac{\pi }{\tau }\right)$$

  进行化简后为：

$$F_{2\tau P}\left(\omega \right)=2\pi \sum _{n=-\infty }^{\infty }Sa\left(n\cdot \frac{\pi }{\tau }\right)\delta$$

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