兔子会死怎么办？ 古典问题：有一对兔子，从出生后第3个月起每个月都生一对兔子，假如兔子会死

Posted 2022-04-14 amcomputer

兔子会死 古典问题：有一对兔子，从出生后第3个月起每个月都生一对兔子，假如兔死

1 兔子不会死

题目：古典问题：有一对兔子，从出生后第3个月起每个月都生一对兔子，小兔子长到第三个月后每个月又生一对兔子，假如兔子都不死，问每个月兔子有多少对，第20个月有多少对？

2.1 斐波那契思想

程序分析： 第一个月、第二个月小兔子没有繁殖能力，所以还是1对 两个月后，生下一对小兔民数共有2对 三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是3对，依次类推可以列出下表兔子的规律为数列1,1,2,3,5,8,13,21…这个数列有关十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。 这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在<算盘全书>中提出的。

2.2 动态规划思想

由于第i项为第第i-1项加上第i-2项，即该数列满足：f[i] = f[i-1] + f[i-2] ,这里的条件是i大于2。求解第n个月的兔子总数问题，变为了求解第n-1个月的兔子总数 ， 和第n-2个月的兔子总数，直到求解n, n-1,…, 2,1的问题，故可以使用DP来做该题, 实现比较简单：

定义状态：用f[i]表示了第i个月的兔子总数为f[i]
状态转移方程：f[i] = f[i-1] + f[i-2]
初始值和边界值： f[0] = f[1] = 1
计算方向：从左到右

编程实现：

def rabbitBirthNoDeath(n=20):
    f = [0 for i in range(n)]
    f[0] = f[1] = 1
    for i in range(2,n):
        f[i] = f[i-1] + f[i-2]
    print(f)

2 兔子会死

但是如果兔子会死怎么办？ 因为我们大家都知道，兔子不可能无限繁殖，很多笔者都写了关于兔子不会死的情况，而对于兔子会死的场景，很少有人去考虑，笔者记得，在练习的时候就遇到过这个情况，即兔子会死的情况。今天就来彻彻底底的分析分析：

题目变种：古典问题：有一对兔子，从出生后第3个月起每个月都生一对兔子，小兔子长到第三个月后每个月又生一对兔子，假如兔子寿命为半年，问每个月兔子有多少对，第20个月有多少对？

题目分析：假如兔子寿命为半年，说明了一只兔子的寿命为6个月，但问题来了，兔子在第6个月是先死还是先死了，为了不纠结这个问题，笔者直接定义为兔子先生， 生完兔子后在死，然后再计算总数。

兔子到第7个月时，才会有兔子真正死去。
在第7个月的兔子总数 = 在第6个月的兔子总数 + 在第5个月的兔子总数 - 在第1个月的兔子总数
形式化为： f[7] = f[6] + f[5] - f[1]

故当i<=6时，f[i] = f[i-1] + f[i-2]

故当i>6时, f[i] = f[i-1] + f[i-2] - 死去的兔子数量

所以该题的关键是如何计算死去的兔子数量

可以看到周期为6后，就会有兔子死去，故需要得到周期值
在通过取模运算得到具体的位置。就可以得到死去的兔子数量

代码实现：

def rabbitBirthDeath(n=20):
    f = [0 for i in range(n)]
    f[0] = f[1] = 1
    for i in range(2,n):
        # 如果兔子的寿命为6个月
        if (i <=6 ):
            f[i] = f[i-1] + f[i-2]
        else:
            k = i%6-1 #获取具体位置 在第k个位置
            period = int(i/6) -1  #在第period个周期
            f[i] = f[i-1] + f[i-2] - f[period*6+k]
    print(f)

3 结果对比

不会死：[1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765]
会死： [1, 1, 2, 3, 5, 8, 12, 19, 29, 45, 69, 106, 163, 250, 384, 589, 904, 1387, 2128, 3265]