人工智能数学基础--概率与统计3：随机变量与概率分布

Posted 2022-04-11 LaoYuanPython

一、随机变量

假设对一个样本空间的每个点，我们指定一个数，于是就在该样本空间上定义了一个函数，称这个函数为随机变量或更确切地称之为随机函数。

随机变量通常用大写字母X或Y表示。一般说来，随机变量都有某种特定的物理意义、几何意义或其他意义。

具有有限多个值或无限多个可数值的随机变量称之为离散随机变量，而具有无限多个不可数值者则称之为非离散随机变量。

二、离散概率分布

2.1、概率函数

令X是离散随机变量，假设其值可由序列x1，x2，x3，…给出。并假设这些值具有下列概率

P(X=xk)=f(xk)，k=1，2，…      (1)

下面公式(2)称为概率函数，也称它为概率分布：

P(X=x)=f(x)        (2)

对于x=xk，(2)化为(1)，对于其他的x，f(x)=0。

2.2、离散随机变量的分布函数

对于随机变量 X，其累积分布函数，又简称为分布函数，是由下式(3)定义的：

F(x)=P(X≤x)      (3)

这里x是任意实数，即 -∞<x<+∞。

分布函数F(x)有下列性质：

1. F(x)是非减的(即，F(x)≤F(y)，当x≤y);
2. 当x->–∞时，lim F(x)=0，当x->+∞，limF(x)=1；
3. F(x)是右连续的(即h->0时，limF(x+h)=F(x)，对所有的x)。

2.3、离散随机变量的分布函数计算及与概率函数的关系

注意到下面的公式(4)，对所有属于(-∞，+∞)的x，离散随机变量X的分布函数可由它的概率函数得到：

F(x)=P(X≤x)=Σf(u)      (4)

上式中u≤x，即表示取所有小于等于x的样本对应的随机变量。

如果X仅有有限个值x1、x2、…、xn，则分布函数由下式给出：

由以上分布函数可以得到离散随机变量的概率函数：

老猿注：上式中的极限就相当于求取所有小于X的随机变量的累计分布函数。

三、连续的随机变量

3.1、连续随机变量的概率分布函数和概率函数

非离散的随机变量X被称之为绝对连续的，或简称连续的，如果其分布函数能表示成

这里函数f(x)具有性质:

1. f(x)≥0；
2. f(x)在（-∞,+∞）的定积分∫f(x)dx=1。

若X是连续的随机变量，根据上述则对于X的任一个特殊值的概率是零，而属于两个不同值a与b之间的X的概率为区间概率，由下式给出

满足以上条件的函数f(x)称之为连续的随机变量的概率函数或概率分布，但是通常称它为概率密度函数或简称密度函数。任何一个满足以上性质1和2的函数f(x)就称为密度函数，并且能够根据(8)式求得概率。

在f(x)是连续的情况下，除非特殊说明，将假定X等于任何特殊值的概率为0，因此对于（8）式中的小于号可以用小于等于号替代。

X在x与x+Δx之间的概率由下式给出：

因此，若Δx很小时，我们近似地得到：

P(x≤X≤x+Δx)=f(x)Δx      (10)

老猿注：上述公式（10）是由函数的微分定义获得的，具体可参考《人工智能数学基础–微分：定义、运算以及应用》的介绍。

对(7)式两边求导，我们得到

这里对所有的f(x)的连续点，即分布函数的导数是密度函数。

实际上存在着既不是离散的也不是连续的随机变量，如满足概率密度函数定义的分段函数。

3.2、连续随机变量的概率分布函数图形解释

若f(x)是随机变量X的密度函数，则可用图2-2中的一条曲线来对y=f(x)作图形上的描述。

由于f(x)≥0，所以该曲线不可能落到x轴的不面。由(7)式之后的性质2，故以该曲线与轴为界的整个面积必是1。从几何上看，在a与b之间的X的概率，即P(a<X<b)，则是用图2-2中阴影部分的面积来描述。

分布函数F(z)=P(X≤x)是单调递增函数，它从0递增到1，用图2-3中的曲线来描述。

小结

本文介绍了概率统计中的随机变量及概率分布的概念，包括离散随机变量和连续随机变量的概率函数及分布函数，都是概率统计的入门知识。

说明：

本文内容是老猿学习美版M.R.斯皮格尔等著作的《概率与统计》的总结，有需要高数原教材电子版以及OpenCV、Python基础知识、图像处理原理介绍相关电子资料，或对文章内有有疑问咨询的，请扫博客首页左边二维码加微信公号，根据加微信公号后的自动回复操作。

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