逻辑回归LR算法LR优缺点LR推导LR损失函数

Posted 2022-04-09 小葵花幼儿园园长

逻辑回归

• • LR–逻辑回归
  • • • LR作用？
      • 回归和分类的区别？
      • 逻辑回归函数？
      • 逻辑回归损失函数？
      • LR的推导？
      • LR和线性回归的区别
      • 逻辑回归怎么实现多分类？
      • • One-Vs-All
        • One-Vs-One
        • Softmax
      • 优缺点

LR–逻辑回归

LR, Logistic Regression,逻辑回归
之前笔记：逻辑回归
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逻辑回归

LR作用？

• 常用的处理二分类问题的线性模型

二分类：分类目标只有两种

判断是猪吗-----是、不是

回归和分类的区别？

• 回归模型的输出是连续的
• 分类模型的输出是离散的
  

逻辑回归函数？

逻辑回归=线性回归+sigmoid函数

• 线性回归就是用一条直线来拟合自变量和因变量之间的关系

把回归变成分类？

• sigmoid函数
  参考:sigmoid
  将y压缩为0-1，y小于0–变成[0,0.5],y大于0–变成[0.5,1]
  
• 逻辑回归：把线性函数的输出z，当做sigmoid函数的输入，最后得到y。当$y\in [0,0.5]$否，当$y\in [0,1]$是
• 逻辑回归函数：
  
  如何去求解出好的参数？
• 利用到好的损失函数

逻辑回归损失函数？

• 损失函数是体现“预测值”与“实际值”相似程度的函数
• 损失函数越小，模型越好

解读损失函数

• 其中y表示样本的真实标签，（0或1）
• a表示预测的结果是0或者1的概率，a的取值范围为[0,1]
• 对于上述损失函数，分开讨论两种预测结果—（正|反）
• 正：y=1，loss=-yIna，当a越接近1时，yIna越大，loss越小
• 负同理

LR的推导？

我们采用𝑦 ∈ 0, 1 以符合Logistic 回归的描述习惯．

为了解决连续的线性函数不适合进行分类的问题，我们引入非线性函数$g:R^D\to (0,1)$来预测类别标签的后验概率𝑝(𝑦 = 1|𝒙)．
$$p(y=1|\mathbf{x})=g(f(\mathbf{x};\mathbf{w}))$$
其中𝑔(⋅) 通常称为激活函数（Activation Function），其作用是把线性函数的值域从实数区间“挤压”到了(0, 1) 之间，可以用来表示概率．

在Logistic 回归中，我们使用Logistic 函数来作为激活函数．标签𝑦 = 1 的后验概率为
𝑝(𝑦 = 1|𝒙)=𝜎(𝒘T𝒙) ≜ $\frac{1}{1+exp(-{\mathbf{w}}^T\mathbf{x})}$
为简单起见，这里$\mathbf{x}=[x_1,\cdots ,x_D,1{]}^T$和$\mathbf{w}=[w_1,\cdots ,w_D,b{]}^T$分别为𝐷 + 1 维的增广特征向量和增广权重向量．

LR和线性回归的区别

• 逻辑回归=线性回归+sigmoid函数
• 线性回归是用一条直线来拟合自变量和因变量之间的关系（做预测）
• 逻辑回归是来解决二分类问题的（做分类）

逻辑回归怎么实现多分类？

One-Vs-All

• 思想：把一个多分类问题变成多个二分类问题。
• 思路：选择其中一个类别为正类（Positive），使其他所有类别为负类（Negative）。然后一个接一个
• 缺点：训练集样本数量不平衡

One-Vs-One

• 思想：One-Vs-One 是一种相对稳健的扩展方法。对于同样的三分类问题，我们像举行车轮作战一样让不同类别的数据两两组合训练分类器，可以得到 3 个二元分类器。
• 缺点：训练出更多的 Classifier，会影响预测时间。

Softmax

• 逻辑回归使用sigmoid激活函数，映射到【0，1】之间的数值上
• 使用Softmax让一个样本映射到多个【0，1】之间的数值上
• Softmax使得所有概率之和为1，对概率分布归一化

优缺点

优点：

对数据中小噪声的鲁棒性好；
LR 算法已被广泛应用于工业问题中；
多重共线性并不是问题，它可结合正则化来解决。

LR算法的缺点：

对于非线性特征，需要转换
当特征空间很大时，LR的性能并不是太好