设X,Y是连续型随机变量，证明：若X与Y独立，则X^2与Y^2相互独立

Posted 2023-05-15

额，不要太复杂，我数学是普通专业的大二水平

X^2，Y^2的联合累积密度函数。

即概率P(X^2<=x，Y^2<=y)

注意事件X^2<=x是和-√x<=X<=√x等价的，Y^2<=y是和-√y<=Y<=√y等价的，所以：

P(X^2<=x，Y^2<=y)=P(-√x<=X<=√x，-√y<=Y<=√y)

但是X，Y是独立的，所以，联合概率可以写成各自概率的乘积，即：

P(X^2<=x，Y^2<=y)=P(-√x<=X<=√x，-√y<=Y<=√y)=P(-√x<=X<=√x)P(-√y<=Y<=√y)

再利用事件等价变回来。

P(X^2<=x，Y^2<=y)=P(-√x<=X<=√x，-√y<=Y<=√y)=P(-√x<=X<=√x)P(-√y<=Y<=√y)

=P(X^2<=x)P(Y^2<=y)

这样，也就是X^2和Y^2独立。

连续型随机变量概念辨析：

能按一定次序一一列出，其值域为一个或若干个有限或无限区间，这样的随机变量称为离散型随机变量。离散型随机变量与连续型随机变量也是由随机变量取值范围（或说成取值的形式）确定，变量取值只能取离散型的自然数，就是离散型随机变量。

参考技术A 假定X，Y的联合分布为 f_(X,Y)(x,y), 则因为 X与Y独立,
f_(X,Y)(x,y) = f_X(x) f_Y(y)

显然，随机向量(X^2, Y^2) 是 随机向量 (X, Y)的一个变换，则有：
f_(X^2,Y^2)(u,v) = f_(X,Y)(√u,√v) det A,
其中 A 为 (x, y) 到 (u, v)=(x^2, y^2) 的微分变换矩阵，因为 x^2只依赖于x， y^2只依赖于y，所以 A其实为对角矩阵，A11 = dx / du = 1/(2√u) ， A22 = dy / dv = 1/(2√v)，
所以 det A = A11 * A22 = 1/( 4√(uv) )
所以
f_(X^2,Y^2)(u,v) = f_(X,Y)(√u,√v) det A = f_X(√u) f_Y(√v) * 1/( 4√(uv) )
= 1/(2√u) f_X(√u) * 1/(2√v) f_Y(√v)
显然，这是两个函数的乘积，第一个函数只依赖于u，第二个函数只依赖于v，
所以 X^2与Y^2相互独立。

（矩阵A及其行列式被称为Jacobian，雅克比矩阵/行列式，如果想知道有关变换的话）

嗯，不要复杂。那就直接用一个结论。如果 X, Y独立，则 对于任意的函数 f 和 g，
f(X) ，g(Y)也都是独立的。 因为f(X) 只依赖于X，而g(Y)只依赖于Y。追问

能在简单一点吗？主要使用独立性知识，其他的适当外延一点。上边涉及范围太广了

追答

呃，还要再简单。。。哈哈。就说
X, Y独立，X^2 只依赖于X，而Y^2只依赖于Y，所以X^2和Y^2独立。

或者你可以考虑X^2，Y^2的联合累积密度函数（cdf，嗯，还真不知道是不是这个翻译），
即概率 P(X^2<=x，Y^2<=y)
注意 事件 X^2<=x是和 -√x <=X<=√x 等价的，Y^2<=y是和 -√y <=Y<=√y 等价的，所以
P(X^2<=x，Y^2<=y)=P(-√x <=X<=√x，-√y <=Y<=√y)
但是X，Y是独立的，所以，联合概率可以写成各自概率的乘积，即
P(X^2<=x，Y^2<=y)=P(-√x <=X<=√x，-√y <=Y<=√y) = P(-√x <=X<=√x)P(-√y <=Y<=√y)
再利用事件等价变回来，
P(X^2<=x，Y^2<=y)=P(-√x <=X<=√x，-√y <=Y<=√y) = P(-√x <=X<=√x)P(-√y <=Y<=√y)
=P(X^2<=x)P(Y^2<=y)
这样，也就是X^2和Y^2独立。

本回答被提问者采纳 参考技术B x+y独立，xy独立。所以…你懂的 参考技术C 学习、学习

概率论，X与Y独立，那么X与X-Y、XY、Y^2独立吗？

X与Y独立能推出哪些是独立的，拓展一下，谢谢

P[X(X-Y)]=P(X-Y)≠P(X)*p(X-Y),
P[X(X+Y)]=P(X+Y)≠P(X)*P(X+Y),
所以X与X-Y,X+Y不独立。追问

与XY 独立吗？

参考技术A