小波变换二之Haar变换
Posted 卡尔曼和玻尔兹曼谁曼
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了小波变换二之Haar变换相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
文章目录
Haar变换
这是小波变换的第二篇，我们继续谈Haar变换。在第一篇中，我们介绍了一位情况下的Haar变换，这篇博文中主要介绍二维Haar变换。最后，通过一个图像压缩的案例说明二维Haar变换的应用。
原理说明
给定一个二维信号，我们这里假设是一个 4 × 4 4\\times4 4×4的图片，
f = [ 2 1 5 6 7 6 5 8 2 1 5 5 7 7 2 10 ] f=\\beginbmatrix2&1&5&6\\\\7&6&5&8\\\\2&1&5&5\\\\7&7&2&10\\endbmatrix f=⎣⎢⎢⎡27271617555268510⎦⎥⎥⎤
如何进行二维的哈尔变换呢？
步骤是这样的：（1）首先，沿着矩阵的每一行做一维的Haar变换；（2）然后，沿着矩阵的每一列做一维的哈尔变换；（3）对于每个低频分量矩阵（近似信息）重复步骤（1）和（2）直到完成指定的等级划分。下图给出了两级划分的示意图：
这里的A表示近似信息（approximation coefficients），H表示水平细节信息（horizontal detail coefficients），V表示垂直细节信息（vertical detail coefficients），D表示对角线细节信息（diagonal detail coefficients）。很多数学软件中是这样称呼的，了解了这个可以帮助我们快速上手软件进行实际操作。
行分解和列分解的顺序是可以互换的，保持一致即可。
明白了基本原理，下面我们来进行实际计算，对于 f f f，（如果不清楚如何做一维高频和低频分解，可参看博文《小波变换一之Haar变换》）
第一次行分解得到低频信息 L = [ 3 2 11 2 13 2 13 2 3 2 5 2 7 2 6 2 ] L=\\beginbmatrix\\frac3\\sqrt2&\\frac11\\sqrt2\\\\\\frac13\\sqrt2&\\frac13\\sqrt2\\\\\\frac3\\sqrt2&5\\sqrt2\\\\7\\sqrt2&6\\sqrt2\\endbmatrix L=⎣⎢⎢⎢⎡2321323722112135262⎦⎥⎥⎥⎤
第一次列分解得到高频信息 H = [ 1 2 − 1 2 1 2 − 3 2 1 2 0 0 − 4 2 ] H=\\beginbmatrix\\frac1\\sqrt2&-\\frac1\\sqrt2\\\\\\frac1\\sqrt2&-\\frac3\\sqrt2\\\\\\frac1\\sqrt2&0\\\\0&-4\\sqrt2\\endbmatrix H=⎣⎢⎢⎢⎡2121210−21−230−42⎦⎥⎥⎥⎤
对 L L L进行列高频分解得到 A 1 = [ 8 12 8.5 11 ] A_1=\\beginbmatrix8&12\\\\8.5&11\\endbmatrix A1=[88.51211]
对 L L L进行列低频分解得到 H 1 = [ − 5 − 1 − 5.5 − 1 ] H_1=\\beginbmatrix-5&-1\\\\-5.5&-1\\endbmatrix H1=[−5−5.5−1−1]
对 H H H进行列高频分解得到 V 1 = [ 1 − 2 0.5 − 4 ] V_1=\\beginbmatrix1&-2\\\\0.5&-4\\endbmatrix V1=[10.5−2−4以上是关于小波变换二之Haar变换的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章