小波变换三之Haar变换
Posted 卡尔曼和玻尔兹曼谁曼
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了小波变换三之Haar变换相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
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小波变换三之Haar变换
什么是基（Basis）
数学上有一个常用神秘专有名词“基”，那么什么是“基”呢？举个例子：在平面直角坐标系中的的一个点 ( x , y ) (x, y) (x,y)的坐标可以表示为 x ⋅ ( 1 , 0 ) + y ⋅ ( 0 , 1 ) x\\cdot(1, 0) + y\\cdot(0, 1) x⋅(1,0)+y⋅(0,1)，这里的 ( 1 , 0 ) (1, 0) (1,0)和 ( 0 , 1 ) (0, 1) (0,1)就是二维直角坐标系中的基，因为任意的点都可以通过这两个向量的加权进行表示。
其实，数学中很多定理或者法则都有这样的表示形式。比如：泰勒公式将任意一个可微函数表示为在该函数在某点的各阶导数的多项式的和；傅里叶级数任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示。这些定理都是用无穷项的和来毕竟一个函数，而无穷项中的每一项都是一个系数乘以一个给定的函数，这些函数一起构成了所谓的“基”。
Haar小波基
其实，小波变换也是有“基”的。我们先直观来看，然后给出形式化的定义。
看例子，对于一个信号 f = 4 , 6 , 10 , 12 , 8 , 6 , 5 , 5 f = \\4, 6, 10, 12, 8, 6, 5, 5\\ f=4,6,10,12,8,6,5,5，我们可以通过在《小波变换一之Haar变换》中讲述的方法计算其第一层的变换结果，我们也可以通过“基”辅助计算。
第一层的基
对于第一层的计算，Haar基是这样的：
对于近似表示的基，我们有： V 1 1 = ( 1 2 , 1 2 , 0 , 0 , ⋯   , 0 ) V 2 1 = ( 0 , 0 , 1 2 , 1 2 , ⋯   , 0 ) V N / 2 1 = ( 0 , 0 , 0 , 0 , 1 2 , 1 2 ) \\beginmatrixV_1^1 = (\\frac1\\sqrt2, \\frac1\\sqrt2, 0, 0, \\cdots, 0) \\\\ V_2^1 = (0, 0, \\frac1\\sqrt2, \\frac1\\sqrt2, \\cdots, 0) \\\\ V_N/2^1 = (0, 0, 0, 0, \\frac1\\sqrt2, \\frac1\\sqrt2)\\endmatrix V11=(21,21,0,0,⋯,0)V21=(0,0,21,21,⋯,0)VN/21=(0,0,0,0,21,21)
所以，变换以后的近似系数为 a 1 = ( f V 1 1 , f V 2 1 , ⋯   , f V N / 2 1 ) = ( 5 2 , 11 2 , 7 2 , 5 2 ) a^1 = (fV_1^1, fV_2^1, \\cdots, fV_N/2^1) = (5\\sqrt2, 11\\sqrt2, 7\\sqrt2, 5\\sqrt2) a1=(fV11,fV21,⋯,fVN/21)=(52,112,72,52)
类似的，对于细节表示的基，我们有： W 1 1 = ( 1 2 , − 1 2 , 0 , 0 , ⋯   , 0 ) W 2 1 = ( 0 , 0 , 1 2 , − 1 2 , ⋯   , 0 ) W N / 2 1 = ( 0 , 0 , 0 , 0 , 1 2 , − 1 2 ) \\beginmatrixW_1^1 = (\\frac1\\sqrt2, -\\frac1\\sqrt2, 0, 0, \\cdots, 0) \\\\ W_2^1 = (0, 0, \\frac1\\sqrt2, -\\frac1\\sqrt2, \\cdots, 0) \\\\ W_N/2^1 = (0, 0, 0, 0, \\frac1\\sqrt2, -\\frac1\\sqrt2)\\endmatrix W11=(21,−21,0,0,⋯,0)W21=(0,0,21,−21,⋯,0)WN/21=(0,0,0,0,21,−以上是关于小波变换三之Haar变换的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
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