蓝桥杯十大常见天阶功法——虫之呼吸.贰之型.二分

Posted 2022-02-27 杨枝

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了蓝桥杯十大常见天阶功法——虫之呼吸.贰之型.二分相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

友友们好(^-^)🌹🌹🌹，我是杨枝，一枚在算法领域迈步的呆萌的博主呀~
目前还是一只纯纯的菜汪🐶。典型的又菜又爱闹那种👀，做不好很多事，说不好很多话，写题还总不Ac😅,还在努力还在前进👣。
因为了，你们对我来说都是是独一无二的呀💓。在点开这篇文章的那一刻，我相信，我们之间相互需要彼此啦🌹🌹
时刻谨记：认真写算法，用心去分享。不负算法，不误卿。感谢相遇（＾㉨＾）。
蓝桥杯的十种呼吸法是笔者结合自己的学习筛选出来的十个知识点。本着像看漫画一样了解算法原理。当日后自己确实遇到相关的习题了，可以再回头结合着我的题解报告来加深理解喔。

🔔八仙过海，智斗二分

小伙伴们对忍姐姐那把独特的日轮刀有没有印象了，感觉喃，舞起来好轻巧，看着好潇洒

但是忍姐姐的结局好容易爆泪点呀😭😭无限城中就这种牺牲了😭😭😭

害，得回归正题啦~
到蝴蝶屋中开始修习咱们今天要学的呼吸之法 —— 二分啦

💓据说只有10%的程序员可以写对二分

二分的基础用法是在单调序列或单调函数中进行查找。因此当问题具有单调性的时候，就一定可以通过二分把求解转换为判定。说通俗一点了，可理解为判断出答案在这个单调区间的位置
(根据复杂度理论，进行判定的难度小于进行求解)。

进一步，我们还可以扩展到通过三分法解决单峰函数的极值以及相关的问题。

二分难点在于对细节的处理：

对于整数域上的二分，需要注意终止边界、左右区间取舍时的开闭情况，避免漏掉答案或造成死循环；

对于实数域的二分，需要注意精度问题。

🌟整数集合上的二分

使用二分法的前提是保证最终答案处于闭区间 $[l, r]$ 之内，循环以 $l = r$ 结束，每次二分的中间值 $m i d$ 会归属于左半段与右半段二者之一。

情况一：在单调递增序列 $a$ 中查找大于等于x的数最小的一个位置。

while(l < r)

	int mid = (l+r) >> 1;
	if(a[mid] >= x) r = mid ;
	else l = mid + 1;

return a[l];

情况一用图片演示的效果如下：

情况二：在单调递增序列a中查找小于等于x的数中最大的一个位置

while(l < r)

	int mid = (l+r+1) >> 1;
	if(a[mid] <= x) l = mid ;
	else r = mid - 1;

return a[l];

对于情况二用图片演示效果如下：

如同上面两段代码所示，这种二分写法可能会有两种形式：

1、范围缩小时， $r = m i d$ ， $l = m i d + 1$ ，取中间值时， $m i d = (l + r) > > 1$
2、范围缩小时， $l = m i d$ ， $r = m i d - 1$ ，取中间值时， $m i d = (l + r + 1) > > 1$

注意第二段的写法，倘若第二段也是采用 $m i d = (l + r) > > 1$ ，那么当 $r - l = 1$ 时，即 $r = l + 1$ ，那么就会出现：

$m i d = (r + l) > > 1$ = $(l + 1 + l) > > 1$ = $l$ 。

若接下来进入 $l = m i d$ 的分支，可行的区间并没有缩小，会造成死循环。

若进入 $r = m i d - 1$ 的分支，会造成 $l > r$ ，循环结束。

因此，对两个形式采用的配套的 $m i d$ 取法是必要也必须遵守的。

注意我们在二分中使用的是
右移运算： $> > 1$ ，而不是整数除法 $/ 2$ 。两者大体是差不多的，只是有细微的区别。

右移运算是向下取整，而整数除法是向零取整，在二分值域包含负数时，整数除法是不能正常工作的。

🌟实数域上的二分

在实数域上的二分较为简单，确定好所需的精度 $e p s$

以 $l + e p s < r$ 为循环条件，每次根据在 $m i d$ 上的判断的成立与否，选择 $r = m i d$ 或者是 $l = m i d$ 。一般需要保留 $k$ 位小数的时候，则取 $eps = 10^-(k+2)$

//倘若题目要求保留三位小数
while(l + 1e-5 < r)

	double mid = (l+r) / 2;//在算法题里，建议多用double，float有时候会因为精度问题导致结果有细微偏差
	if(判断条件) r = mid;
	else l = mid;

有时候精度不容易确定或者表示，就干脆可以采用循环固定次数的二分方法，也是一种相当不错的策略，这种方式得到的结果的精度往往比设置 $e p s$ 的更高。

for(int i = 0; i < 100;i++)

	double mid = (l+r) /2;
	if(判断条件) r = mid;
	else l = mid;

小伙伴们现在应该有种模糊的感觉， $g e t$ 二分法的精髓了，咱们着手看一点习题，切实的体会一下怎么把二分这套功法打出去吧

💓趁热打铁，开始练习

🌟例1、数的范围

🌱题目描述

原题传送门

🌴解题报告

题目想要咱们确定查找的数字的起始位置。想实现这个，就需要对二分的两种情况再理解。

对于情况一，在 $i f (a [m i d] > = x)$ 的条件下成立，那么这个查找值 $x$ 是在中点的左边，那就可以理解为确定当前区间的左边界

同理，对情况二进行同样的理解，情况二就可以理解为确定右边界。

那么解决这道题就很轻松啦，依次将两种情况使用上就好，注意不要将顺序弄反喔~

🌵参考代码(C++版本)

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;
const int N = 100010 ;
int q[N];
int n,m;

int main()

    scanf("%d %d",&n,&m);
    
    //录入n个信息
    for(int i= 0; i < n;i++) scanf("%d",&q[i]);
    
    //m个询问
    for(int i = 0; i < m;i++)
    
        int x;
        scanf("%d",&x);
        
        //通过作图+理论分析，其实还是不恼火的
        //先确定左端点
        int l = 0, r = n-1;
        while(l < r)
        
            int mid = l + r >> 1;
            //把这个二分出来的mid和x做比较
            if(q[mid] >= x) r = mid;
            else l = mid +1;
        
        
        if(q[l] == x)
        
            cout << l <<' ';
            
            r = n-1;
            //确定右端点
            while(l < r)
            
                int mid = l+r+1 >> 1;//这里按照之前的理解来分析的话，直接就裸写 l+r >> 1。再通过后面代码分析要不要补上1
                if(q[mid] <= x) l = mid;
                else r = mid -1;
            
            
            cout << r <<endl;
            
        else cout << "-1 -1" << endl;
    
    
    return 0;

成功斩杀第一个小怪兽~，进攻下一个

🌟例2、数的三次方根

🌱题目描述

原题传送门

🌴解题报告

题目给咱的的是一个浮点数，也就是属于实数域的二分。那咱们只需要指定一个判断条件，然后持续二分到精度 $s p s$ = 10^-8的程度再停止。

因为让我们求一个数的三次方根是多少，那么判断条件就可以定为：
$i f (m i d * m i d * m i d > = x)$

🌵参考代码(C++版本)

#include <cstdio>

int main()

    double x;
    scanf("%lf",&x);
    
    double l = -10000,r =10000;
    
    while(r-l >= 1e-8)
    
        double mid = (l+r) / 2;
        if(mid*mid*mid >= x) r =mid;
        else l = mid;
        
    
    printf("%.6lf",l);
    return 0;

完美解决

🌟例3、0到n-1中缺失的数字

🌱题目描述

原题传送门

🌴解题报告

这道题目给定的是递增数组，假设数组中第一个缺失的数是 $x$ 。
那么数组中下标和该下标存储的数的实际情况如下：

可以观察到：

可以看出，数组左边蓝色部分都满足nums[i] == i；
数组右边橙色部分都不满足nums[i] == i。

因此我们可以将是否满足nums[i] == i作为确定二分的分界点 $x$ 的判断条件

另外要注意特殊情况：当所有数都满足nums[i] == i时，表示缺失的是 $n$

至于时间复杂度：
二分的迭代只会执行 $O (l o g n)$ 次，那么时间复杂度 $O (l o g n)$ 。在时间上，完全没有问题。

🌵参考代码(C++版本)

class Solution 
public:
    int getMissingNumber(vector<int>& nums) 
        if(nums.empty()) return 0;
        
        //二分查找
        int l = 0 , r = nums.size()-1;
        while(l < r)
        
            int mid = (l+r) >> 1;
            //如果二分出来的所有中点值mid，不等于对应的数据值，就继续二分查找
            if(nums[mid] != mid) r = mid;
            else l = mid+1;
        
        
        //返回结果
        if(nums[r] == r ) r++;
        return r;
    
;

快乐Ac

🌟例4、试题算法训练找数2

🌱题目描述

原题传送门

🌴解题报告

读完题目之后，能了解到这道题是想让我们查找一个数的位置：

倘若在一串数据中查找到这个数字了，那么输出位置(注意位置是从1开始数的)；倘若没有查到这个数字，确定这个输入数据应该插入的位置。

对于查找的需求，可以使用二分来高效完成。
使用情况一和情况二都可以，注意边界。

对于确定插入的位置，我的思路比较暴力，是直接逐一枚举同时比较出与输入数据相差最小的数。当找到以后，这个差值最小且差值大于零的数，它后面一位就是合适的位置。

结合着样例，具体落实一下我刚才说的话吧，只听描述很空洞的，笔者我自己也不喜欢很空洞的东西。

样例输入
10
23 34 56 78 99 123 143 155 167 178
128

样例输出
7

比如这个样例，输入数据128和123之间的差值为5，是差值最小的正整数。123的位置是6，它后面一位就是7。

🌵参考代码(C++版本)

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>

using namespace std;
const int N = 1010;
int q[N];
int n,mid;

int main()

	int x;
	int ans = 0x3f3f3f3f;
	int pos = 0;
	scanf("%d",&n);
	
	//录入数据
	for(int i =0; i < n;i++) scanf("%d",&q[i]);
	scanf("%d",&x);
	//开始二分
	int l = 0, r = n-1;
	while(l < r)
	
		mid = (l + r) >> 1;
		
		if(x <= q[mid]) r = mid;
		else l = mid +1;
	
	//二分到了，输出位置
	if(x == q[l]) printf("%d",l+1);
	else //没有二分到要查找的数，把插入进去
	
		for(int i = 0; i < n;i++)
		
		//一个小优化同时也是处理比最后一个数据还大的情况
			if(x > q[n-1])
			
				pos = n;
				break;
			else
			if(ans > 0 && x- q[i] < ans)
			
				ans = x-q[i];
				pos = i;//记录位置
			
		
		//输出位置
		printf("%d",pos+1);
	
    return 0;