[AGC003E]Sequential operations on Sequence

Posted 2022-02-13 StaroForgin

Sequential operations on Sequence

题解

其实还是蛮有趣的。

首先，我们发现，我们最后保留下来的，会对我们产生意义的数组操作的长度，一定是递增的。
因为一次减少操作，相当于只给我们保留下来上次操作的一个前缀，相当于上次操作没有增长那么长。
所以我们可以先用一个单调栈维护哪些操作，这样就只剩下增加的操作了。

接下来，我们考虑我们的答案该怎么计算。
显然最开始，我们是一个长度为$q_n$的前缀，出现了一次，由于我们每次是循环式出现，所以我们可以将长度为$q_n$的前缀分解成两部分，一部分是上一个操作的重复出现，一个是一个单独的前缀。
我们发现，对于一个任意长度的前缀，我们都有着类似的分解方式。
譬如一个长度为$y$的前缀，如果比它小的最长的操作的长度为$x$，那么我们可以将其分解成$\lfloor \frac{y}{x}\rfloor$个长度为$x$的前缀，与$1$个长度为$x\%y$的前缀。
我们发现分解成的前缀中，$x$是我们一个操作的长度，我们可以把它当成一个已经出现过的长度，而我们的$x\%y$虽然是新出现的，但它显然是小于我们$y$一半的长度的，所以这样的新增对于一个起点来说，在一条不经过某一个操作长度的路径上，是不会超过$\log y$次。
我们总共有$m$个操作长度，也就是说，我们不同长度的数量是不会超过$m\log n$，事实上这个上界是极松的，这也就意味着我们可以暴力对每个长度的贡献进行转移。

当一个点转移到小于最短操作长度的位置后，也就意味着它已经贡献到了一个从$1$开始的连续前缀，我们可以先加上一个差分值，最后再后缀和统计答案。
由于我们每次的转移都一定会转移到一个比当前长度小的数，从大到小枚举每个长度进行转移。
枚举的长度虽然是不连续的，但随便找个STL或数据结构就能够很方便的维护了，具体可见代码。

时间复杂度$O\left(Q\log n\log (Q\log n)\right)$。

源码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 100005
#define MAXM 5000005
#define lowbit(x) (x&-x)
#define reg register
#define pb push_back
#define mkpr make_pair
#define fir first
#define sec second
#define lson (rt<<1)
#define rson (rt<<1|1)
typedef long long LL;
typedef unsigned long long uLL; 
typedef long double ld;
typedef pair<int,int> pii;
const double INF=1e9;
const int mo=1e9+7;
const int mod=1e5+3;
const int inv2=5e8+4;
const int jzm=2333;
const int zero=2000;
const int n1=1000;
const int lim=100000;
const int orG=3,ivG=332748118;
const long double Pi=acos(-1.0);
const double eps=1e-12;
template<typename _T>
_T Fabs(_T x)return x<0?-x:x;
template<typename _T>
void read(_T &x)
	_T f=1;x=0;char s=getchar();
	while(s>'9'||s<'0')if(s=='-')f=-1;s=getchar();
	while('0'<=s&&s<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+(s^48);s=getchar();
	x*=f;

template<typename _T>
void print(_T x)if(x<0)x=(~x)+1;putchar('-');if(x>9)print(x/10);putchar(x%10+'0');
int gcd(int a,int b)return !b?a:gcd(b,a%b);
int add(int x,int y,int p)return x+y<p?x+y:x+y-p;
void Add(int &x,int y,int p)x=add(x,y,p);
int qkpow(int a,int s,int p)int t=1;while(s)if(s&1)t=1ll*t*a%p;a=1ll*a*a%p;s>>=1;return t;
int Q,stak;LL n,sta[MAXN],ans[MAXN],dp[MAXM];
priority_queue<LL>q;bool vis[MAXM];
struct HashMap
	LL val[MAXM];int head[MAXN],tot,nxt[MAXM];
	int query(LL x)
		int pos=x%mod,now=head[pos];
		while(now&&val[now]!=x)now=nxt[now];
		if(!now)now=++tot,nxt[now]=head[pos],head[pos]=now,val[now]=x;
		return now;
	
Mp;
signed main()
	read(n);read(Q);sta[++stak]=n;
	for(int i=1;i<=Q;i++)LL x;read(x);while(stak&&x<=sta[stak])stak--;sta[++stak]=x;
	int st=Mp.query(sta[stak]),x=stak;dp[st]=1;q.push(sta[stak]);vis[st]=1;
	while(!q.empty())
		LL t=q.top();q.pop();int p=Mp.query(t);
		if(t<=sta[1])ans[t]+=dp[p];continue;
		while(x&&sta[x]>=t)x--;LL ty=sta[x],tz=t%sta[x];
		int y=Mp.query(ty);dp[y]+=dp[p]*(t/ty);if(!vis[y])q.push(ty),vis[y]=1;
		int z=Mp.query(tz);dp[z]+=dp[p];if(!vis[z])q.push(tz),vis[z]=1;
	
	for(int i=sta[1];i>0;i--)ans[i]+=ans[i+1];
	for(int i=1;i<=n;i++)printf("%lld\\n",ans[i]);
	return 0;

谢谢！！！