试证cantor集为可测集。

Posted 2023-05-10

cantor集的补集是可列个开区间的并集，仍然是开集，可测。于是Cantor集可测。 参考技术A Cantor集是有界闭集，故可测。

2.1.3

11.设\(T:\mathbb R^n\to\mathbb R^n\)是一一满映射,且保持点集的外测度不变,证明对于\(E\in\mathfrak M,\)有\(T(E)\in\mathfrak M.\)
12.试证明任何一个正的可测集\(E\)中含有不可测集.
13.设\(f:[a,b]\to\mathbb R.\)若对于\([a,b]\)中任意可测集\(E,f(E)\)必为\(\mathbb R\)中的可测集.证明:当\(Z\)是\([a,b]\)中零测集时,必有\(m(f(Z))=0.\)
14.给定\([0,1]\)中可测集列\(\{E_j\},j=1,2\cdots.\)若\(\forall\varepsilon\)总存在某个集\(E_k,\)使得\(m(E_k)>1-\varepsilon,\)证明:\[m(\bigcup_{j=1}^\infty E_j)=1.\]
15.在\([a,b]\)上能否作一测度为\(b-a\)但又不同于\([a,b]\)的闭集?

11.\(m^*(A)=m^*(T^{-1}(A))=m^*(T^{-1}(A)\cap E)+m^*(T^{-1}(A)\cap E^c)\) \(=m^*(A\cap T(E))+m^*(A\cap(T(E))^c).\)
12.考虑将\(E\)中的点划分等价类.
13.若\(m(f(Z))>0,\)存在不可测集\(W\subset f(Z),\)但\(f^{-1}(W)\cap Z\)可测.
14.\(\displaystyle m(\bigcup_{j=1}^\infty E_j)\geq E_k>1-\varepsilon.\)
15.考虑\(G=[a,b]\setminus(F\cup\{a,b\}).\)