贪心热门问题5：加油站问题

Posted 2022-02-11 纵横千里，捭阖四方

LeetCode134：加油站问题也是贪心的热门问题之一。题目要求：

在一条环路上有 N 个加油站，其中第 i 个加油站有汽油 gas[i] 升。你有一辆油箱容量无限的的汽车，从第 i 个加油站开往第 i+1 个加油站需要消耗汽油 cost[i] 升。你从其中的一个加油站出发，开始时油箱为空。如果你可以绕环路行驶一周，则返回出发时加油站的编号，否则返回 -1。

示例1
输入: 
gas  = [1,2,3,4,5]
cost = [3,4,5,1,2]

输出: 3

解释:
从 3 号加油站(索引为 3 处)出发，可获得 4 升汽油。此时油箱有 = 0 + 4 = 4 升汽油
开往 4 号加油站，此时油箱有 4 - 1 + 5 = 8 升汽油
开往 0 号加油站，此时油箱有 8 - 2 + 1 = 7 升汽油
开往 1 号加油站，此时油箱有 7 - 3 + 2 = 6 升汽油
开往 2 号加油站，此时油箱有 6 - 4 + 3 = 5 升汽油
开往 3 号加油站，你需要消耗 5 升汽油，正好足够你返回到 3 号加油站。
因此，3 可为起始索引。

我们说贪心是少数不用管是不是贪心，直接分析直接解答的题目类型。我们先理解一下这个题是什么意思。示例给的两个数组只是代表从当前站有多少油料，以及从前一个位置过来需要消耗多少油料，因为是环。所以这里gas[0]=1和cost[0]=3就表示第一个站有1升汽油，从第五个站到第一个站需要消耗3升汽油。

很显然在第一个站只能加1升汽油，但是从第一个站到第二个站需要消耗4升汽油，因此不能从第一个站开始走。为此我们可以从第二个，第三个、第四个开始，一次我们想到了暴力解法，如下图所示：

 每个节点表示添加的油量，每条边表示消耗的油量。题目的意思就是问我们从哪个节点出发，还可以回到该节点。只能顺时针方向走。

所以直接向后找，只要能找到就行：

public int canCompleteCircuit(int[] gas, int[] cost) 
    int n = gas.length;
    //考虑从每一个点出发
    for (int i = 0; i < n; i++) 
        int j = i;
        int remain = gas[i];
        //当前剩余的油能否到达下一个点
        while (remain - cost[j] >= 0) 
            //减去花费的加上新的点的补给
            remain = remain - cost[j] + gas[(j + 1) % n];
            j = (j + 1) % n;
            //j 回到了 i
            if (j == i) 
                return i;
            
        
    
    //任何点都不可以
    return -1;

如果面试的时候想到这样，如果能顺序跑通，我觉得一般的面试能通过的。这里很明显的问题就是需要大量的重复计算。我们考虑优化一下。

首先如果总油量减去总消耗大于等于零那么一定可以跑完一圈，说明各个站点的加油站剩油量rest[i]相加一定是大于等于零的。

每个加油站的剩余量rest[i]为gas[i] - cost[i]。i从0开始累加rest[i]，和记为curSum，一旦curSum小于零，说明[0, i]区间都不能作为起始位置，起始位置从i+1算起，再从0计算curSum。

 那么为什么一旦[i，j] 区间和为负数，起始位置就可以是j+1呢，j+1后面就不会出现更大的负数？

如果出现更大的负数，就是更新j，那么起始位置又变成新的j+1了。而且j之前出现了多少负数，j后面就会出现多少正数，因为耗油总和是大于零的（前提我们已经确定了一定可以跑完全程）。

那么局部最优：当前累加rest[j]的和curSum一旦小于0，起始位置至少要是j+1，因为从j开始一定不行。全局最优：找到可以跑一圈的起始位置。

上面这个推论怎么证明正确性呢？可以尝试找找看有没有反例，面试的时候面试官可能还会不自觉的帮你找返利，没有的话就行了。代码如下：

public int canCompleteCircuit(int[] gas, int[] cost) 
        int curSum = 0;
        int totalSum = 0;
        int start = 0;
        for (int i = 0; i < gas.length; i++) 
            curSum += gas[i] - cost[i];
            totalSum += gas[i] - cost[i];
            // 当前累加rest[i]和 curSum一旦小于0
            if (curSum < 0)   
                // 更新起始位置为i+1 
                start = i + 1; 
                // curSum从0开始 
                curSum = 0;     
            
        
        // 说明怎么走都不可能跑一圈了
        if (totalSum < 0) return -1; 
        return start;