[硫化铂]中心城镇问题

Posted 2022-02-09 StaroForgin

中心城镇问题

题解

实质上是一个非常经典的长链剖分dp题。

我们可以记$d{p}_{u,i}$表示在以点$u$为根节点的子树内，最深的特殊点深度为$i$时总的权值最大值。
我们的转移主要分两个部分，合并两棵子树，与将当前子树的根节点赋为特殊点。

对于第一个转移，我们需要保证合并的两棵子树它们最浅的特殊点的距离是不小于$K$的，转移式为
$$d{p}_{u,i}=\underset{\min (j,k)=i\wedge j+k-2de{p}_u⩾K}{\min }d{p}_{u,j}+d{p}_{v,k}$$但这样需要枚举$j,k$两个，显然是会$T$飞的，但我们观察到上面的状态是可以通过后缀最大值优化的，我们将$d{p}_{u,i}$的定义换成在以点$u$为根的子树内，最深的特殊点深度不小于$i$时总权值的最大值。
$$d{p}_{u,i}=\min (d{p}_{u,i}+d{p}_{v,de{p}_u+K-i},d{p}_{v,i}+d{p}_{u,de{p}_u+K-i})$$但这样实际上转移后并没有真正使得转移后的$d{p}_{u,i}$表示上个定义$d{p}_{u,i}$的后缀最大值，由于它限制了$j$是被累积到$i$上的，势必会使得该$j$的转移范围减少，也就是说存在$j+k⩾K+2de{p}_u>i+K$的情形。
面对这种情况，我们不妨在转移后再做一次后缀最小值，显然在合并这两棵子树后，如果$v$中有特殊点，即有贡献的话，我们影响到的$d{p}_{u,i}$的$i$一定是不会超过$v$子树中最深节点的深度的。故我们做的后缀最大值的时间复杂度与前面转移的时间复杂度都是$O\left({\max }_{v^{\prime }\in T_v}de{p}_v\right)$的，即最长链长度。
既然如此，我们就可以联想到通过长链剖分来优化我们的$dp$转移，每次把短的链合并到长的链上。

第二部分的转移就是再将我们当前的$u$赋为特殊点，显然这种情况需要保证已有的特殊点都与$u$距离不小于$K$，即深度都不小于$de{p}_u+K$，我们的$dp$又是维护的后缀最大值，有转移式，
$$d{p}_{u,de{p}_u}=va{l}_u+d{p}_{u,de{p}_u+K}$$这种转移显然是$O\left(1\right)$的，它现在是在最前面的，并不会影响其它的后缀。

整个就是一个长链剖分优化$dp$的过程，每条链只会产生一次贡献，之后就被并到长链上了，以后就是长链产生贡献，是$O\left(n\right)$的。不过重链剖分也可以过，可能时间复杂度与空间复杂度不大一样。

时间复杂度$O\left(n\right)$(长链)或$O\left(n\log n\right)$(重链)。

源码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 1000005
#define lowbit(x) (x&-x)
#define reg register
#define pb push_back
#define mkpr make_pair
#define fir first
#define sec second
#define lson (rt<<1)
#define rson (rt<<1|1)
typedef long long LL;
typedef unsigned long long uLL; 
typedef long double ld;
typedef pair<int,int> pii;
const int INF=0x3f3f3f3f;
const int mo=1e9+7;
const int mod=1e5+3;
const int inv2=5e8+4;
const int jzm=2333;
const int zero=2000;
const int n1=1000;
const int M=100000;
const int orG=3,ivG=332748118;
const long double Pi=acos(-1.0);
const double eps=1e-12;
template<typename _T>
_T Fabs(_T x)return x<0?-x:x;
template<typename _T>
void read(_T &x)
	_T f=1;x=0;char s=getchar();
	while(s>'9'||s<'0')if(s=='-')f=-1;s=getchar();
	while('0'<=s&&s<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+(s^48);s=getchar();
	x*=f;

template<typename _T>
void print(_T x)if(x<0)x=(~x)+1;putchar('-');if(x>9)print(x/10);putchar(x%10+'0');
int gcd(int a,int b)return !b?a:gcd(b,a%b);
int add(int x,int y,int p)return x+y<p?x+y:x+y-p;
void Add(int &x,int y,int p)x=add(x,y,p);
int qkpow(int a,int s,int p)int t=1;while(s)if(s&1)t=1ll*t*a%p;a=1ll*a*a%p;s以上是关于[硫化铂]中心城镇问题的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
 
 [硫化铂]货币
 [硫化铂]签到题
 [硫化铂]二十
 [硫化铂]守序划分问题
 [硫化铂]好
 [硫化铂]传染