数据结构与算法之深入解析“组合总和Ⅳ”的求解思路与算法示例

Posted 2022-02-05 Serendipity·y

一、题目要求

• 给你一个由不同整数组成的数组 nums ，和一个目标整数 target，请从 nums 中找出并返回总和为 target 的元素组合的个数。
• 题目数据保证答案符合 32 位整数范围。
• 示例 1：

输入：nums = [1,2,3], target = 4
输出：7
解释：
所有可能的组合为：
(1, 1, 1, 1)
(1, 1, 2)
(1, 2, 1)
(1, 3)
(2, 1, 1)
(2, 2)
(3, 1)
请注意，顺序不同的序列被视作不同的组合。

• 示例 2：

输入：nums = [9], target = 3
输出：0

• 提示：
• • 1 <= nums.length <= 200
• • 1 <= nums[i] <= 1000
• • nums 中的所有元素互不相同
• • 1 <= target <= 1000

二、求解算法：动态规划

• 本题中，给定数组 nums 和目标值 target，要求计算从 nums 中选取若干个元素，使得它们的和等于 target 的方案数。其中，nums 的每个元素可以选取多次，且需要考虑选取元素的顺序。由于需要考虑选取元素的顺序，因此这道题需要计算的是选取元素的排列数。
• 可以通过动态规划的方法计算可能的方案数，用 dp[x] 表示选取的元素之和等于 x 的方案数，目标是求 dp[target]，动态规划的边界是 dp[0]=1，只有当不选取任何元素时，元素之和才为 0，因此只有 1 种方案。
• 当 1≤i≤target 时，如果存在一种排列，其中的元素之和等于 i，则该排列的最后一个元素一定是数组 nums 中的一个元素。假设该排列的最后一个元素是 num，则一定有 num≤i，对于元素之和等于 i−num 的每一种排列，在最后添加 num 之后即可得到一个元素之和等于 i 的排列，因此在计算 dp[i] 时，应该计算所有的 dp[i−num] 之和。
• 由此可以得到动态规划的做法：
• • 初始化 dp[0]=1；
• • 遍历 i 从 1 到 target，对于每个 i，进行如下操作：遍历数组 nums 中的每个元素 num，当 num≤i 时，将 dp[i−num] 的值加到 dp[i]。
• • 最终得到 dp[target] 的值即为答案。
• 上述做法是否考虑到选取元素的顺序？答案是肯定的。因为外层循环是遍历从 1 到 target 的值，内层循环是遍历数组 nums 的值，在计算 dp[i] 的值时，nums 中的每个小于等于 i 的元素都可能作为元素之和等于 i 的排列的最后一个元素。例如，1 和 3 都在数组 nums 中，计算 dp[4] 的时候，排列的最后一个元素可以是 1 也可以是 3，因此 dp[1] 和 dp[3] 都会被考虑到，即不同的顺序都会被考虑到。
• Java 示例：

class Solution 
    public int combinationSum4(int[] nums, int target) 
        int[] dp = new int[target + 1];
        dp[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= target; i++) 
            for (int num : nums) 
                if (num <= i) 
                    dp[i] += dp[i - num];
                
            
        
        return dp[target];
    

• C++ 示例：

class Solution 
public:
    int combinationSum4(vector<int>& nums, int target) 
        vector<int> dp(target + 1);
        dp[0] = 1;
        for (int i = 1; i <= target; i++) 
            for (int& num : nums) 
                if (num <= i && dp[i - num] < INT_MAX - dp[i]) 
                    dp[i] += dp[i - num];
                
            
        
        return dp[target];
    
;

• 复杂度分析：
• • 时间复杂度：O(target×n)，其中 target 是目标值，n 是数组 nums 的长度。需要计算长度为 target+1 的数组 dp 的每个元素的值，对于每个元素，需要遍历数组 nums 之后计算元素值。
• • 空间复杂度：O(target)，需要创建长度为 target+1 的数组 dp。