浅谈区间问题

Posted 2023-02-20 TSOI_Vergil

    区间问题：给你若干个区间，问最多有多少个不相交的区间。

    这是一道经典问题，我们可以贪心求解，我们将区间按右端点升序排序，那么最左边的区间一定要选，因为它的右端点位置最靠左，如果我们不选它而选了一个别的，答案的数量没有增加，而且还占用了比之前靠右的一段地方，这样是不划算的，因此最左边的区间一定要选，那么我们再将与最左边区间冲突的区间全部删除，剩余的区间中我们还是要选右端点最靠左的，这样我们一路推过去，除排序复杂度外可以O(n)的解决。

   加强版：给你若干个区间，每个区间都有一个权值，要求选出若干不相交区间使得权值和最大。

   这道题我们就没法贪心去做了，因为可能选的很多区间的权值和还不如一个区间大，我们考虑用DP，先模仿最长上升子序列的做法，我们令F[i]表示选第i个区间能得到的最大权值，那么我们有F[i]=max(F[j])+Value[i]，其中要求区间j与区间i不相交，可是这个复杂度是O(n^2)的，我们可以用线段树优化求max(F[j])的过程，复杂度变成O(nlogn)，但是我们还有更好的做法，我们这次以每个点为单位，F[i]表示到i这个点为止能选择的最大权值，那么我们如果i这个点是某个区间的右端点，F[i]=max(F[i]，F[left]+value)，left是这个区间的左端点，value是这个区间的权值，这样除排序复杂度外可以O(n)的解决。

   总结：对于这一类区间问题来说，如果考虑用动态规划求解的话，一般状态有两种表示，一种是F[i]表示选第i个区间的得到的最优值，一种是F[i]表示到i这个点的位置能得到的最优值，这两种状态，一种是以线段为基本单位，一种是以点为基本单位，使用时应灵活掌握。