【转】仿射变换及其变换矩阵的理解

Posted 2023-05-08

tags:

篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了【转】仿射变换及其变换矩阵的理解相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

参考技术A posted @ 2019-05-30 17:37 shine-lee 阅读(7203) 评论(7) 编辑收藏

分类: 传统计算机视觉

目录

写在前面

仿射变换：平移、旋转、放缩、剪切、反射

变换矩阵形式

变换矩阵的理解与记忆

变换矩阵的参数估计

参考

博客： blog.shinelee.me | 博客园 | CSDN

写在前面

2D图像常见的坐标变换如下图所示：

这篇文章不包含透视变换（projective/perspective transformation），而将重点放在仿射变换（affine transformation），将介绍仿射变换所包含的各种变换，以及变换矩阵该如何理解记忆。

仿射变换：平移、旋转、放缩、剪切、反射

仿射变换包括如下所有变换，以及这些变换任意次序次数的组合：

平移（translation）和旋转（rotation）顾名思义，两者的组合称之为欧式变换（Euclidean transformation）或刚体变换（rigid transformation）；

放缩（scaling）可进一步分为 uniform scaling 和 non-uniform scaling ，前者每个坐标轴放缩系数相同（各向同性），后者不同；如果放缩系数为负，则会叠加上反射（reflection）——reflection可以看成是特殊的scaling；

刚体变换+uniform scaling 称之为，相似变换（similarity transformation），即平移+旋转+各向同性的放缩；

剪切变换（shear mapping）将所有点沿某一指定方向成比例地平移，语言描述不如上面图示直观。

各种变换间的关系如下面的venn图所示：

通过变换矩阵可以更清晰地看出这些变换间的关系和区别。

变换矩阵形式

没有平移或者平移量为0的所有仿射变换可以用如下变换矩阵描述：

[x′y′]=[acbd][xy][x′y′]=[abcd][xy]

不同变换对应的a,b,c,da,b,c,d约束不同，排除了平移变换的所有仿射变换为线性变换（linear transformation），其涵盖的变换如上面的venn图所示，其特点是原点位置不变，多次线性变换的结果仍是线性变换。

为了涵盖平移，引入齐次坐标，在原有2维坐标的基础上，增广1个维度，如下所示：

⎡⎣⎢x′y′1⎤⎦⎥=⎡⎣⎢ad0be0cf1⎤⎦⎥⎡⎣⎢xy1⎤⎦⎥[x′y′1]=[abcdef001][xy1]

所以，仿射变换的变换矩阵统一用 ⎡⎣⎢ad0be0cf1⎤⎦⎥[abcdef001]来描述，不同基础变换的a,b,c,d,e,fa,b,c,d,e,f约束不同，如下所示：

此外，旋转和平移相乘得到刚体变换的变换矩阵，如下，有3个自由度（θ,tx,tyθ,tx,ty），这里旋转方向为逆时针方向，因此与上图中的正负号不同，

⎡⎣⎢cos(θ)sin(θ)0−sin(θ)cos(θ)0txty1⎤⎦⎥⎡⎣⎢xy1⎤⎦⎥=⎡⎣⎢x′y′1⎤⎦⎥[cos⁡(θ)−sin⁡(θ)txsin⁡(θ)cos⁡(θ)ty001][xy1]=[x′y′1]

再乘上uniform scaling得到相似变换，有4个自由度（s,θ,tx,tys,θ,tx,ty），如下：

⎡⎣⎢scos(θ)ssin(θ)0−ssin(θ)scos(θ)0txty1⎤⎦⎥⎡⎣⎢xy1⎤⎦⎥=⎡⎣⎢x′y′1⎤⎦⎥[scos⁡(θ)−ssin⁡(θ)txssin⁡(θ)scos⁡(θ)ty001][xy1]=[x′y′1]

自然，仿射变换的变换矩阵有6个自由度（a,b,c,d,e,fa,b,c,d,e,f）。

变换矩阵的理解与记忆

坐标系由坐标原点和基向量决定，坐标原点和基向量确定了，坐标系也就确定了。

对于坐标系中的位置(x,y)(x,y)，其相对坐标原点在[1,0][1,0]方向上的投影为xx，在[0,1][0,1]方向上的投影为yy——这里投影的意思是过(x,y)(x,y)做坐标轴的平行线与坐标轴的交点到原点的距离，即(x,y)(x,y)实际为：

[xy]=x[10]+y[01]=[1001][xy][xy]=x[10]+y[01]=[1001][xy]

当坐标系变化，坐标系中的点也跟着变化，但点相对新坐标系（x′−y′x′−y′坐标系）的位置不变仍为(x,y)(x,y)，以旋转变换为例，新坐标轴的基向量则变为[cos(θ),sin(θ)][cos⁡(θ),sin⁡(θ)]和[−sin(θ),cos(θ)][−sin⁡(θ),cos⁡(θ)]，所以点变化到新位置为：

[x′y′]=x[cos(θ)sin(θ)]+y[−sin(θ)cos(θ)]=[cos(θ)sin(θ)−sin(θ)cos(θ)][xy][x′y′]=x[cos⁡(θ)sin⁡(θ)]+y[−sin⁡(θ)cos⁡(θ)]=[cos⁡(θ)−sin⁡(θ)sin⁡(θ)cos⁡(θ)][xy]

新位置和新基向量是相对绝对坐标系(x−yx−y坐标系）而言的。其他变换矩阵同理。

总结一下：

所有变换矩阵只需关注一点：坐标系的变化，即基向量和原点的变化；

坐标系变化到哪里，坐标系中的所有点也跟着做同样的变化；

坐标系的变换分为基向量的变化以及坐标原点的变化，在仿射变换矩阵 ⎡⎣⎢ad0be0cf1⎤⎦⎥[abcdef001]中， [ad][ad]和[be][be]为新的基向量，[cf][cf]为新的坐标原点，先变化基向量，再变化坐标原点；

这时再对照上面的各种变换矩阵，就很好理解了。

变换矩阵的参数估计

如果给定两个对应点集，如何估计指定变换矩阵的参数？

一对对应点可以列两个线性方程，多个对应点可以列出线性方程组，为了求解参数，需要的对应点数至少为自由度的一半，多个点时构成超定方程组，可以基于最小二乘或者SVD分解等方法进行求解，这里不再展开。

参考

Image Alignment and Stitching: A Tutorial

wiki: Affine transformation

Geometric Transformation

Coordinates and Transformations

Transformations

Geometric Transformations

Image Geometry

原文链接： https://www.cnblogs.com/shine-lee/p/10950963.html

affine transformation matrix 仿射变换矩阵与 OpenGL

变换模型是指根据待匹配图像与背景图像之间几何畸变的情况，所选择的能最佳拟合两幅图像之间变化的几何变换模型。可采用的变换模型有如下几种:刚性变换、仿射变换、透视变换和非线形变换等，如下图：

参考： http://wenku.baidu.com/view/826a796027d3240c8447ef20.html

其中第三个的仿射变换就是我们这节要讨论的。

仿射变换(Affine Transformation)
Affine Transformation是一种二维坐标到二维坐标之间的线性变换，保持二维图形的“平直性”（译注：straightness，即变换后直线还是直线不会打弯，圆弧还是圆弧）和“平行性”（译注：parallelness，其实是指保二维图形间的相对位置关系不变，平行线还是平行线，相交直线的交角不变。）。