随机过程9 - 高斯分布及其非线性性质
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了随机过程9 - 高斯分布及其非线性性质相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
高斯分布及其非线性性质
文章目录
1. 概述
前面介绍了高斯分布和高斯的一些线性性质。这里会针对高斯分布的非线性变换进行介绍。也就是一个高斯分布，应该非线性变换之后，会得到具有怎么样的统计特性的函数。这里我们会介绍这样的一些非线性变换：多项式、分段线性、指数函数和三角函数
(1) Polynonial (2) Precewise Linear (3) Exponential (4) Triangometry \\text(1) Polynonial \\\\ \\text(2) Precewise Linear \\\\ \\text(3) Exponential \\\\ \\text(4) Triangometry (1) Polynonial(2) Precewise Linear(3) Exponential(4) Triangometry
2. Polynonial
2.1 高阶矩
在多项式非线性变换中，需要用到高斯过程的高阶矩这个工具，因此我们首先介绍一下高斯过程的高阶矩
2.1.1 一维高斯的高阶矩
首先介绍一维高斯的高阶矩
High Order Z ∼ N ( 0 , σ 2 ) f Z ( x ) = 1 2 π σ e x p ( − x 2 2 σ 2 ) E ( Z k ) = 1 2 π σ ∫ − ∞ + ∞ x k e x p ( − x 2 2 σ 2 ) d x \\textHigh Order \\\\ Z \\sim N(0, \\sigma^2) \\\\ f_Z(x) = \\frac1\\sqrt2\\pi\\sigma exp(-\\fracx^22\\sigma^2) \\\\ E(Z^k) = \\frac1\\sqrt2\\pi\\sigma \\int_-\\infty^+\\infty x^k exp(-\\fracx^22\\sigma^2) dx High OrderZ∼N(0,σ2)fZ(x)=2πσ1exp(−2σ2x2)E(Zk)=2πσ1∫−∞+∞xkexp(−2σ2x2)dx
我们要求后面的积分
Let I n = ∫ − ∞ + ∞ x k e x p ( − x 2 2 σ 2 ) d x \\textLet I_n = \\int_-\\infty^+\\infty x^k exp(-\\fracx^22\\sigma^2) dx Let In=∫−∞+∞xkexp(−2σ2x2)dx
可以使用分部积分
I n = ∫ − ∞ + ∞ x k e x p ( − x 2 2 σ 2 ) d x = − σ 2 ∫ − ∞ + ∞ x k − 1 d e x p ( − x 2 2 σ 2 ) = − σ 2 x k − 1 e x p ( − x 2 2 σ 2 ) ∣ − ∞ + ∞ + σ 2 ∫ − ∞ + ∞ e x p ( − x 2 2 σ 2 ) d x k − 1 = ( k − 1 ) σ 2 ∫ − ∞ + ∞ x k − 2 e x p ( − x 2 2 σ 2 ) d x I_n = \\int_-\\infty^+\\infty x^k exp(-\\fracx^22\\sigma^2) dx \\\\ = -\\sigma^2\\int_-\\infty^+\\infty x^k-1 d exp(-\\fracx^22\\sigma^2) \\\\ = -\\sigma^2 x^k-1 exp(-\\fracx^22\\sigma^2)|_-\\infty^+\\infty +\\sigma^2\\int_-\\infty^+\\infty exp(-\\fracx^22\\sigma^2) d x^k-1 = (k-1)\\sigma^2\\int_-\\infty^+\\infty x^k-2 exp(-\\fracx^22\\sigma^2) d x In=∫−∞+∞xkexp(−2σ2x2)dx=−σ2∫−∞+∞xk−1dexp(−2σ2x2)=−σ2xk−1exp(−2σ2x2)∣−∞+∞+σ2∫−∞+∞exp(−2σ2x2)dxk−1=(k−1)σ2∫−∞+∞xk−2exp(−2σ2x2)dx
由于分部积分前一段中，指数增长的速度远远大于多项式增长速度，因此前一半是0。后一半可以得到一个递推式
I n = ( k − 1 ) σ 2 I n − 2 I_n = (k-1) \\sigma^2 I_n-2 In=(k−1)σ2In−2
因此可以得到一个分段的函数
E ( Z k ) = 1 2 π σ I k = ( k − 1 ) ( k − 3 ) . . . 1 ∗ σ k k = 2 m 0 k = 2 m − 1 = ( k − 1 ) ! ! σ k k = 2 m 0 k = 2 m − 1 E(Z^k)=\\frac1\\sqrt2\\pi\\sigmaI_k = \\begincases (k-1)(k-3)...1 *\\sigma^k & k=2m \\\\ 0 & k = 2m-1 \\endcases \\\\ = \\begincases (k-1)!! \\sigma^k & k=2m \\\\ 0 & k = 2m-1 \\endcases E(Zk)=2πσ1以上是关于随机过程9 - 高斯分布及其非线性性质的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章