随机过程12 - 泊松过程的推广型
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了随机过程12 - 泊松过程的推广型相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
泊松过程的推广型
1. 泊松过程基本型回顾
1.1 性质
泊松过程具有三个很重要的特性：独立增量特性、平稳增量特性以及稀疏性。同时，我们对泊松分布的研究主要集中在概率密度上，也就是时间t内事件发生次数的概率。
N ( 0 ) = 0 Independent Increment Stationary Increment Sparsity ⇒ P ( N ( t ) = k ) = ( λ t ) k k ! e x p ( − λ t ) N(0) = 0 \\\\ \\textIndependent Increment \\\\ \\textStationary Increment \\\\ \\textSparsity \\\\ \\Rightarrow P(N(t) = k) = \\frac(\\lambda t)^kk! exp(-\\lambda t) N(0)=0Independent IncrementStationary IncrementSparsity⇒P(N(t)=k)=k!(λt)kexp(−λt)
1.2 泊松分布与射击模型
下面对泊松分布进行稍加说明
泊松分布其实是射击模型的一种逼近。我们假设射击n次，每次射击命中率为P，那么射中k次的概率可以表示为
Binomial Distribution P ( Z = k ) = C n k ( P ) k ( 1 − P ) n − k \\textBinomial Distribution \\\\ P(Z=k) = C_n^k(P)^k (1-P)^n-k Binomial DistributionP(Z=k)=Cnk(P)k(1−P)n−k
现在对射击模型进行逼近，假设命中率P趋近于0，射击次数n趋近于无穷大，并且nP=λ是常数
P → 0 n → ∞ n P = λ P \\rightarrow 0 \\\\ n \\rightarrow \\infty \\\\ nP = \\lambda P→0n→∞nP=λ
我们可以计算一下这个射击模型的极限
P ( Z = k ) = C n k ( λ n ) k ( 1 − λ n ) n − k l i m n → ∞ C n k ( λ n ) k ( 1 − λ n ) n − k = l i m n → ∞ n ! k ! ( n − k ) ! ( λ n ) k ( 1 − λ n ) − k ( 1 − λ n ) n = l i m n → ∞ λ k k ! ( n ∗ ( n − 1 ) ∗ . . . ∗ ( n − k + 1 ) ) n k ( 1 − λ n ) − k ( 1 − λ n ) n = λ k k ! ∗ 1 ∗ 1 ∗ e − λ = λ k k ! e − λ P(Z=k) = C_n^k(\\frac\\lambdan)^k (1-\\frac\\lambdan)^n-k \\\\ lim_n\\rightarrow \\inftyC_n^k(\\frac\\lambdan)^k (1-\\frac\\lambdan)^n-k \\\\ = lim_n\\rightarrow \\infty \\fracn!k!(n-k)! (\\frac\\lambdan)^k (1-\\frac\\lambdan)^-k(1-\\frac\\lambdan)^n \\\\ \\\\ = lim_n\\rightarrow \\infty \\frac\\lambda^kk! \\frac(n*(n-1)*...*(n-k+1))n^k(1-\\frac\\lambdan)^-k(1-\\frac\\lambdan)^n \\\\ = \\frac\\lambda^kk! *1*1*e^-\\lambda = \\frac\\lambda^kk! e^-\\lambda P(Z=k)=Cnk(nλ)k(1−nλ)n−klimn→∞Cnk(nλ)k(1−nλ)n−k=limn→∞k!(n−k)!n!(nλ)k(1−nλ)−k(1−nλ)n=limn→∞k!λknk(n∗(n−1)∗...∗(n−k+1))(1−nλ)−k(1−nλ)n=k!λk∗1∗1∗e−λ=k!λke−λ
我们就得到了泊松分布。泊松分布是二项分布的逼近。二项分布是射击模型。当命中率足够小，射击次数足够多，就变成了泊松分布。泊松是在等待，等待一个稀有事件的到来，因此泊松具有稀疏性。
Waitting Rare Events \\textWaitting Rare Events Waitting Rare Events
Z ∼ P ( λ ) E ( Z ) = λ V a r ( Z ) = λ Z \\sim P(\\lambda) \\\\ E(Z) = \\lambda \\\\ Var(Z) = \\lambda Z∼P(λ)E(Z)=λVar(Z)=λ
2. 泊松过程的推广型
我们知道，独立性、平稳性和稀疏性是泊松分布三个很重要的特性，下面，我们会逐渐的放松这些性质，可以得到更加实用性的泊松过程的推广型。
2.1 放宽平稳性
2.1.1 非平稳泊松过程
Stationary \\textStationary \\\\ Stationary
我们回忆，在计算泊松过程的母函数的时候，用到了平稳增量特性进行变换
E ( Z N ( t + Δ t ) − N ( t ) − 1 ) = E ( Z N ( Δ t ) − 1 ) E(Z^N(t +\\Delta t) - N(t)-1) = E(Z^N(\\Delta t)-1) \\\\ E(ZN(t+Δt)−N(t)−1)=E(ZN(Δt)−1)
现在没有平稳增量特性了，我们就需要使用原始的式子进行求解了
E
(
Z
N
(
t
+
Δ
t
)
−
N
(
t
)
−
1
)
=
P
(
N
(
t
+
Δ
t
)
−
N
(
t
)
=
0
)
−
1
+
Z
P
(
N
(
t
+
Δ
t
)
−
N
(
t
)
=
1
)
+
∑
k
≥
2
Z
k
P
(
以上是关于随机过程12 - 泊松过程的推广型的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章