《数值分析》-- 雅可比迭代法高斯—塞德尔迭代法

Posted 胜天半月子

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了《数值分析》-- 雅可比迭代法高斯—塞德尔迭代法相关的知识,希望对你有一定的参考价值。


一、基本迭代法的格式及收敛性

1.1 迭代法思想


  • 基本迭代法的迭代格式
  • 例题

  • 结论

1.2 向量序列收敛的定义

  • 例题
  • 结论

二、迭代法的收敛与发散

  • 引例



三、雅可比迭代法和高斯赛德尔迭代法

3.1 雅可比迭代法

以下原理性东西了解即可,通过例题明白如何计算怎么计算就可以

  • 原理


    第 i 个 方 程 除 以 a i i ( i = 1 , 2 , … , n ) , 得 : 第i个方程除以a_ii(i =1,2,…,n),得: iaii(i=1,2,,n),:


    Jacobi迭代的分量形式


    即得到计算公式(雅可比迭代法) :对 k = 0 , 1 , … k=0,1,… k=0,1,
  • 例题



    Jacobi迭代用9次迭代,基本得到该题的精确解。
  • 雅可比迭代法的收敛性

    下面给出一种更方便的形式:
  • 雅可比迭代的矩阵表示

3.2 高斯――赛得尔(Gauss-Seidel)迭代法

  • 原理
  • 对比⭐

  • 高斯—塞德尔迭代公式:
  • 高斯—塞德尔迭代的矩阵表示

  • 例题

    雅可比:

    高斯—塞德尔迭代法得如下迭代公式:
  • 结论

四、迭代法的收敛性

4.1 严格对角占优矩阵与对角占优矩阵

  • 概念
  • 谱半径

4.2 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的收敛性

  • 定理1

  • 例题
  • 定理2

    正定矩阵:对于具体的实对称矩阵,常用矩阵的各阶顺序主子式是否大于零来判断其正定性;(求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数,则A是正定的;)

  • 例题

  • 定理3

  • 定理4

  • 例题

  • 结论


以上是关于《数值分析》-- 雅可比迭代法高斯—塞德尔迭代法的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

《数值分析》-- 雅可比迭代法高斯—塞德尔迭代法

[计算机数值分析]高斯-塞德尔迭代公式解线性方程组

高斯-牛顿迭代

线性方程组的迭代解法——雅可比迭代法

python 雅可比迭代方法

当雅可比达到 Newton-CG 方法中的任意(小)值时,如何停止迭代?