具有N个结点的平衡二叉树的深度一定不小于logn对么？为啥

Posted 2023-05-05

节点的满二叉树深度为log2(n+1),同节点数的平衡二插树绝对大雨等于这个数，所以是正确的吧，呵呵 参考技术A 证：设N[h]表示高度为h的AVL树最少含有的节点数，则显而易见地，N[1]=1，N[2]=2，并且N[h]=N[h-1]+N[h-2]+1（N>2）,因为高为h的话，必然有一颗子树高为h-1，由于平衡性质，另一颗至少高度为h-2。
对于最后的二阶差分方程，通过代换来齐次化(N[h]+1)=(N[h-1]+1)+(N[h-2]+1)，即得到Fibonacci数列，特征方程x^2-x-1=0，利用初值F[0]=0;F[1]=1求出系数，得到F[n]=(alpha^n-beta^n)/sqrt(5)，其中alpha=(1+sqrt(5))/2,beta=(1-sqrt(5))/2。
则对应地N[h]=F[h+2]-1。
F[n]与alpha^n/sqrt(5)是同阶无穷大。因为
lim(F[n]/(alpha^n/sqrt(5)))=lim(1+((1-sqrt(5))/(1+sqrt(5)))^n)
=lim(1+(-1)^n*((sqrt(5)-1)/(sqrt(5)+1))^n)=lim(1+(-1)^n*0)=1
所以N[h]约等于alpha^(h+2)/sqrt(5)-1。
对应得，h可表示为sqrt(5)*log(N+1)-2。
即，N个点的AVL树，最大深度可表示为O(logN)。

严格的数学证明如上，无奈输入的符号看着较乱，望见谅。追问

证明我提的问题是对的？

追答

最后一句“N个点的AVL树，最大深度可表示为O(logN)”

因此，是不大于……，你的结论写反了吧。
平衡树的优点就在于，树不会很高，不会退化。
如果是不小于的话，这个有点就完全没有了。

追问

喔喔 知道啦 谢谢你

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平衡二叉树(AVL树)

假设一个二叉查找树中的数据都是链式的(即都集中在左子树或者右子树)，那么这时候对该二叉查找树进行查找的时间复杂度就是$O(n)$,背离了二叉查找树用来优化数据查询的目的。而平衡二叉树可以使树的高度在每次插入元素后，查询操作仍然能保持$O(logn)$的时间复杂度。
对平衡二叉树的任意结点来说，要保证其左子树与右子树的高度之差绝对值不超过1，其中左子树与右子树的高度之差称为该结点的平衡因子。

 1 // 存储结构 
 2 struct node
 3 {
 4     int data;
 5     int height;
 6     node *lchild;
 7     node *rchild;
 8 };
 9 
10 // 新建结点
11 node *newNode(int n)
12 {
13     node *Node = new node;
14     Node->data = n;
15     Node->height = 1;
16     Node->lchild = Node->rchild = NULL;
17     return Node;
18 }
19 
20 // 获得结点所在子树高度 
21 int getHeight(node *root)
22 {
23     if(root == NULL)
24         return 0;
25     return root->height;
26 }
27 
28 // 计算平衡因子
29 int getBalanceFactor(node *root)
30 {
31     return getHeight(root->lchild) - getHeight(root->rchild);
32 }
33  
34 void updateHeight(node *root)
35 {
36     root->height = max(getHeight(root->lchild),getHeight(root->rchild))+1;
37 }
38 
39 // 查找操作与二叉查找树一样，不过因为AVL树高度为O(logn) 所以时间复杂度也为O(logn)
40 
41 // 左旋 Left Rotation
42 void L(node *&root)
43 {
44     node *temp = root->rchild;
45     root->rchild = temp->lchild;
46     temp->lchild = root;
47     updateHeight(root);
48     updateHeight(temp);
49     root = temp;
50 }
51 
52 // 右旋 (Right Rotation) 
53 void R(node *&root)
54 {
55     node *temp = root->lchild;
56     root->lchild = temp->rchild;
57     temp->rchild = root;
58     updateHeight(root);
59     updateHeight(temp);
60     root = temp;
61 }

 

在往已有的AVL树中插入一个结点，一定会有结点的平衡因子发生变化，此时可能会有结点的平衡因子绝对值大于1(大于1的可能只有2或者-2)。显然只有在从根结点到该插入结点的路径上的结点才可能发生平衡因子变化，因此可以证明，只要把最靠近插入结点的失衡结点调整正常，路径上所有结点就会回复平衡。

假设结点A、B、C的权值满足A>B>C

此时A平衡因子为2，当A的左孩子平衡因子为1时为LL型，A的左孩子平衡因子为-1时为LR型。
LL型：把C为根结点的子树看作整体，以结点A为root进行右旋
LR型：以结点C为root进行左旋，转化为LL型，再按LL型处理

此时A平衡因子为-2，当A的右孩子平衡因子为-1时为RR型，A的右孩子平衡因子为1时为RL型。
RR型：把C为根结点的子树看作整体，以结点A为root进行左旋
RL型：以结点C为root进行右旋，转化为RR型，再按RR型处理

 1 // 往AVL中插入结点 
 2 void insert(node *&root,int v)
 3 {
 4     if(root==NULL)
 5     {
 6         root = newNode(v);
 7         return;
 8     }
 9     if(v <= root->data)
10     {
11         insert(root->lchild,v);
12         updataHeight(root); // 更新树高 
13         if(getBalanceFactor(root) == 2) 
14         {
15             if(getBalanceFactor(root->lchild)==1) // LL型 
16             {
17                 R(root);
18             }
19             else if(getBalanceFactor(root->lchild)==-1) // LR型 
20             {
21                 L(root->lchild);
22                 R(root);
23             }
24         }
25     }
26     else if(v > root->data)
27     {
28         insert(root->rchild,v);
29         updateHeight(root);
30         if(getBalanceFactor(root) == -2)
31         {
32             if(getBalanceFactor(root->rchild) == 1)  // RR型 
33             {
34                 L(root);
35             }
36             else if(getBalanceFactor(root->rchild) == -1)  // RL型 
37             {
38                 R(root->rchild);
39                 L(root);
40             }
41         }
42     }
43 }
44 
45 // 建立AVL树 
46 node *create(int data[],int n)
47 {
48     node *root = new node;
49     for(int i=0;i<n;++i)
50         insert(root,data[i]);
51     return root;
52 }