树——二叉树

Posted 2023-02-19 牧鱼ys

树

树是n个节点的有限集。当n=0时，称为空树。在任意一颗非空树中应满足：

1. 有且仅有一个特定的称为根的节点
2. 当n>1时，其余节点可分为m个互不相交的有限集T1，T2，…，Tm，其中每个集合本身时一棵树，并且称为根的子树。

其他术语如度、深度等等不做详细阐述

性质

1. 树中的结点数等于所有节点的度数加1
2. 度为m的树中第i层之多有$m^{i-1}$个节点($i\ge 1$)
3. 高度为h的m叉树至多有$\frac{m^h-1}{m-1}$个节点
4. 具有n个节点的m叉树的最小高度为$\lceil lo{g}_m(n(m-1)+1)\rceil$

二叉树

二叉树与度为2的有序树的区别

1. 度为2的树至少有三个节点，而二叉树可以为空
2. 度为2的有序树的孩子的左右次序是相对于另一孩子而言的，若某个节点只有一个孩子节点，则这个孩子就无须区分其左右次序，而二叉树无论其孩子数是否为2，均需确定其左右次序，即二叉树的节点次序是确定的

特殊的二叉树

1. 满二叉树
2. 完全二叉树：对于最大层次中的叶子节点，都依次排列在该层的最左边的位置上
3. 二叉排序树：左子树上所有节点的关键字均小于根节点的关键字；右子树上的所有节点的关键字都大于根节点的关键字；左右子树又各是一颗二叉排序树
4. 平衡二叉树：树上任一节点的左子树和右子树的深度之差不超过1

性质

1. 非空二叉树上的叶子结点数等于度为2的结点数加1，即$n_0=n_2+1$。即结点数=边数+1
2. 非空二叉树上第$k$层上至多有$2^{k-1}$个结点$(k\ge 1)$。
3. 高度为$h$的二叉树至多有$2^{h-1}$个结点$(h\ge 1)$。
4. 对完全二叉树按从上到下、从左到右的顺序依次编号1,2,…,n，则有以下关系:
   1. 当$i>1$时，结点i的双亲的编号$\lfloor i/2\rfloor$，即当i为偶数时，其双亲的编号为$i/2$，它是双亲的左孩子;当i为奇数时，其双亲的编号为$(i-1)/2$，它是双亲的右孩子。
   2. 当$2i\le n$时，结点i的左孩子编号为$2i$，否则无左孩子。
   3. 当$2i+1\le n$时，结点i的右孩子编号为$2i+1$，否则无右孩子。
   4. 结点i所在层次（深度）为$\lfloor lo{g}_{2}i\rfloor +1$。
5. 具有n个(n>0)结点的完全二叉树的高度为$\lceil lo{g}_2(n+1)\rceil$或$\lfloor lo{g}_{2}n\rfloor +1$.

存储结构

1. 线性存储
2. 链式存储