上图将向量(x,y)旋转到\\((x_1,y_1)\\)，求旋转矩阵。即已知角度\\(\\theta\\)，问题表述为矩阵方程：
\\[\\begin{bmatrix}
x_1 \\\\
y_1
\\end{bmatrix}
=
A*
\\begin{bmatrix}
x \\\\
y
\\end{bmatrix}
\\]
求变换矩阵\\(A\\)。
方法一
利用平面几何的方法。
\\[\\begin{split}
x_1 = {}&cos(\\theta+\\alpha)*r\\\\
= {}&cos(\\theta)*cos(\\alpha)*r - sin(\\theta)*sin(\\alpha)*r\\\\
= {}& cos(\\theta)*x-sin(\\theta)*y
\\end{split}
\\]
\\[\\begin{split}
y_1 = {}&sin(\\theta+\\alpha)*r\\\\
= {}&sin(\\theta)*cos(\\alpha)*r+cos(\\theta)*sin(\\alpha)*r\\\\
= {}&sin(\\theta)*x + cos(\\theta)*y
\\end{split}
\\]
这个线性方程组写成矩阵形式，可得
\\[A =
\\begin{bmatrix}
cos(\\theta) & -sin(\\theta)\\\\
sin(\\theta) & cos(\\theta)
\\end{bmatrix}
\\]
方法二
利用线性变换的方法
\\(R^2\\)中的任意一点(x,y)经过旋转\\(\\theta\\)后变为(x1,y1)，求旋转矩阵。
这是一个线性变换，设变换为
\\[T(X) = AX
\\]
\\(X\\)为一个\\(R^2\\)的向量，按题意即是求变换矩阵\\(A\\)。
设\\(I\\)为\\(R^2\\)的单位矩阵，\\(e\\)为单位列向量。即：
\\[ I = \\begin{bmatrix}
1&0\\\\
0&1
\\end{bmatrix}
=(e1,e2)
\\]
按照直角坐标系理解，e1就是x轴上的(1,0)点，e2就是y轴上的(0,1)点。
\\[X = x*e1 + y*e2
\\]
由于是线性变换，所以
\\[T(X) = T(x*e1 + y*e2)
= x*T(e1) + y*T(e2)
=\\begin{bmatrix}
T(e1)&T(e2)
\\end{bmatrix}*
\\begin{bmatrix}
x\\\\y
\\end{bmatrix}
\\]
所以
\\[A =\\begin{bmatrix}
T(e1)&T(e2)
\\end{bmatrix}
\\]
\\(T(e)\\)通过平面几何可以很容易求出来。三角形的斜边长度是1，角度是\\(\\theta\\)，那么对边是\\(sin(\\theta)\\)，即x坐标，邻边是\\(cos(\\theta)\\)，即y坐标。
\\[ T(e1) = \\begin{bmatrix}
cos(\\theta)\\\\
sin(\\theta)
\\end{bmatrix}
\\]
同理求得：
\\[ T(e2) = \\begin{bmatrix}
-sin(\\theta)\\\\
cos(\\theta)
\\end{bmatrix}
\\]
因为旋转到x轴的负方向，所以取负值。
所以
\\[ A = \\begin{bmatrix}
cos(\\theta)&-sin(\\theta)\\\\
sin(\\theta)&cos(\\theta)
\\end{bmatrix}
\\]