求拉普拉斯方程资料

Posted 2023-04-24

参考技术A 拉普拉斯方程表示液面曲率与液体压力之间的关系的公式。一个弯曲的表面称为曲面，通常用相应的两个曲率半径来描述曲面，即在曲面上某点作垂直于表面的直线，再通过此线作一平面，此平面与曲面的截线为曲线，在该点与曲线相重合的圆半径称为该曲线的曲率半径r1。通过表面垂线并垂直于第一个平面再作第二个平面并与曲面相交，可得到第二条截线和它的曲率半径r2，用
r1与r2可表示出液体表面的弯曲情况。若液面是弯曲的，液体内部的压力p1与液体外的压力p2就会不同，在液面两边就会产生压力差△p=
p1-
p2，其数值与液面曲率大小有关，可表示为：
　　在数理方程中，拉普拉斯方程为：△u=d^2u/dx^2+d^2u/dy^2=0，其中△为拉普拉斯算子，此处的拉普拉斯方程为二阶偏微分方程。三维情况下，拉普拉斯方程可由下面的形式描述，问题归结为求解对实自变量x、y、z二阶可微的实函数φ
：
　　上面的方程常常简写作：
　　或
　　其中div表示矢量场的散度（结果是一个标量场），grad表示标量场的梯度（结果是一个矢量场），或者简写作：
　　其中δ称为拉普拉斯算子.
　　拉普拉斯方程的解称为调和函数。
　　如果等号右边是一个给定的函数f(x,
y,
z)，即：
　　则该方程称为泊松方程。
拉普拉斯方程和泊松方程是最简单的椭圆型偏微分方程。偏微分算子或δ（可以在任意维空间中定义这样的算子）称为拉普拉斯算子，英文是
laplace
operator
或简称作
laplacian。
　　拉普拉斯方程的狄利克雷问题可归结为求解在区域d内定义的函数φ，使得在d的边界上等于某给定的函数。为方便叙述，以下采用拉普拉斯算子应用的其中一个例子——热传导问题作为背景进行介绍：固定区域边界上的温度（是边界上各点位置坐标的函数），直到区域内部热传导使温度分布达到稳定，这个温度分布场就是相应的狄利克雷问题的解。
　　拉普拉斯方程的诺伊曼边界条件不直接给出区域d边界处的温度函数φ本身，而是φ沿d的边界法向的导数。从物理的角度看，这种边界条件给出的是矢量场的势分布在区域边界处的已知效果（对热传导问题而言，这种效果便是边界热流密度）。
　　拉普拉斯方程的解称为调和函数，此函数在方程成立的区域内是解析的。任意两个函数，如果它们都满足拉普拉斯方程（或任意线性微分方程），这两个函数之和（或任意形式的线性组合）同样满足前述方程。这种非常有用的性质称为叠加原理。可以根据该原理将复杂问题的已知简单特解组合起来，构造适用面更广的通解。
　　
在流场中的应用
　　设u、v
分别为满足定常、不可压缩和无旋条件的流体速度场的x
和y
方向分量（这里仅考虑二维流场），那么不可压缩条件为：
　　无旋条件为：
　　若定义一个标量函数ψ，使其微分满足：
　　那么不可压缩条件便是上述微分式的可积条件。积分的结果函数ψ称为流函数，因为它在同一条流线上各点的值是相同的。ψ的一阶偏导为：
　　无旋条件即令
ψ
满足拉普拉斯方程。ψ的共轭调和函数称为速度势。
柯西-黎曼方程要求
　　所以每一个解析函数都对应着平面内的一个定常不可压缩无旋流场。解析函数的实部为速度势函数，虚部为流函数。

非齐次线性方程组有唯一解怎么求

Ax=0无非零解时.则A为满秩矩阵。则Ax=b一定有解

Ax=0有无穷多解时，则A一定不为满秩矩阵，

Ax=b的解得情况有无解和无穷多解

无解：R(A)≠R(A|b)

无穷解：R(A)等于R(A|b)。且不为满秩

Ax=b无解时，可知Ax=0一定有无穷多解

Ax=b有唯一解时，可知A为满秩矩阵，则Ax=0只有零解

齐次线性方程组，要么零解（R(A)=n），要么无穷解（R(A)<n)

一个零解，一个非零的唯一解.不能同时发生。

扩展资料：

解的存在性

非齐次线性方程组Ax=b 有解的充分必要条件是：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即rank(A)=rank(A, b)（否则为无解）。

非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是rank(A)=n。

非齐次线性方程组有无穷多解的充要条件是rank(A)<n。（rank(A)表示A的秩）

参考资料来源：百度百科-非齐次线性方程组

参考技术A

由题目，该方程为非齐次线性方程组，则必有系数矩阵和增广矩阵，求唯一解，则证明非齐次线性方程的增广矩阵满秩，求增广矩阵的行最简形式，则最后一列即为唯一解。

参考技术B 线性代数相关知识。求矩阵的秩，系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩时，非齐次线性方程有唯一解；当系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩时，无解；当系数矩阵的秩大于增广矩阵的秩的时候，无穷解。本回答被提问者和网友采纳 参考技术C 把增广矩阵左部分（也就是系数矩阵化成行最简）得到右边一列就是唯一解（实际上就是令自由变量为0），解析：比如第一行为（1 0 0 0 a）也就是（X1乘1等于a）那X1就等于a，第二行是X2，类推。 参考技术D 用克拉默法则，可以分别得到x1，x2，x3