最短路变短了 (思维+反向djstrea)

Posted 2021-03-01 YunYan

题解：设有一条边x->y，数组dis1[i]表示从1到i的最短距离，dis2[i]表示从n到i的最短距离。

1 如果说将x->y反向之前没有经过x->y，但是反向后我经过了x,y说明找到了一个更优的路径，那么反向后的答案就是dis1[y]+dis2[x]+(x,y)，如果说反向后我没有经过

x->y，那也就是说x->y正向反向对dis[n]的结果没有影响喽。

2 如果说反向之前我经过了x->y，如果反向后没有经过x->y，那么此时的最短路也一定是大于等于dis1[n]的，因为会有一条新的路径长度处于dis1[n]和dis1[y]+dis2[x]+(x,y)之间。如果反向后经过了x->y，那么反向后的答案就是dis1[y]+dis2[x]+(x,y)。

综上所述，我们只需要判断dis1[y]+dis2[x]+(x,y)和dis1[n]的关系就行了。（看起来有点绕，仔细品品还是很有意思的）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll N=2e5+7;
const ll INF=1e18+7;

struct stu{
    ll a,b;
    bool friend operator<(const stu &x,const stu &y){
        return x.b>y.b;
    }
};
vector<stu>ve1[N];
vector<stu>ve2[N];
ll l[N],r[N],w[N];
ll n,m;
bool mark[N];
ll dis1[N],dis2[N];
void add1(ll x,ll y,ll weight){
    ve1[x].push_back({y,weight});
}
void add2(ll x,ll y,ll weight){
    ve2[x].push_back({y,weight});
}
void inll(){
    for(ll i=1;i<=n;i++){
        dis1[i]=dis2[i]=INF;
    }
}
void djstrea1(ll s){  
    priority_queue<stu>que;
    dis1[s]=0;  
    que.push({s,0});  
    while(que.size()){  
       stu xx=que.top();  
       que.pop();
       if(mark[xx.a]==1) continue ;  
       mark[xx.a]=1;  
       for(ll i=0;i<ve1[xx.a].size();i++){  
           ll dx=ve1[xx.a][i].a;  
           ll dy=ve1[xx.a][i].b; 
           if(mark[dx]==0&&dis1[dx]>dis1[xx.a]+dy){  
               dis1[dx]=dis1[xx.a]+dy; 
               que.push({dx,dis1[dx]});  
             }  
         }  
       }  
}
void djstrea2(ll s){  
    priority_queue<stu>que;
    dis2[s]=0;  
    que.push({s,0});  
    while(que.size()){  
       stu xx=que.top();  
       que.pop();
       if(mark[xx.a]==1) continue ;  
       mark[xx.a]=1;  
       for(ll i=0;i<ve2[xx.a].size();i++){  
           ll dx=ve2[xx.a][i].a;  
           ll dy=ve2[xx.a][i].b;  
           if(mark[dx]==0&&dis2[dx]>dis2[xx.a]+dy){  
               dis2[dx]=dis2[xx.a]+dy; 
               que.push({dx,dis2[dx]});  
             }  
         }  
       }  
}
int main(){
    cin>>n>>m;
    inll(); 
    for(ll i=1;i<=m;i++){
        ll x,y,z;
        cin>>x>>y>>z;
        l[i]=x;r[i]=y;w[i]=z;
        add1(x,y,z);
        add2(y,x,z);
    }
    djstrea1(1); 
    memset(mark,0,sizeof mark);
    djstrea2(n);
    ll t;
    cin>>t;
    while(t--){
        ll i;cin>>i;
        cout<<(dis1[n]>dis1[r[i]]+dis2[l[i]]+w[i]? "YES":"NO")<<endl;
    }
    return 0;
 }