[luogu1337][bzoj3680][JSOI2004]平衡点 / 吊打XXX

Posted 2021-02-13 chhokmah

题目描述

gty又虐了一场比赛，被虐的蒟蒻们决定吊打gty。gty见大势不好机智的分出了n个分身，但还是被人多势众的蒟蒻抓住了。蒟蒻们将n个gty吊在n根绳子上，每根绳子穿过天台的一个洞。这n根绳子有一个公共的绳结x。吊好gty后蒟蒻们发现由于每个gty重力不同，绳结x在移动。蒟蒻wangxz脑洞大开的决定计算出x最后停留处的坐标，由于他太弱了决定向你求助。
不计摩擦，不计能量损失，由于gty足够矮所以不会掉到地上。

分析

人生中第一道模拟退火题目，感觉模拟退火这个算法非常的优美又非常的（粗鄙之语）。我看不大懂网上那些乱七八糟的什么物理解释，我认为模拟退火就可以用一句话来概括：随机化乱搞，越搞几率越低。而且模拟退火的代码非常简单，但是最最麻烦的就是调参数。
有空的时候我会把模拟退火的学习笔记补起来。
回到这道题目，我们是要找到一个点，使其的合力为(0)，那么我们首先假设答案就是我们所有点的中点，也就是所有点坐标的平均数，假设这个是我们的答案。然后我们就需要模拟退火找到比这个更好的答案。
我们可以确定一个原点，将所有的力在这个原点上正交分解，最终我们可以得到所有的力的一个合力，而真正的平衡点一定在合力所指向的方向。
每当分得到一个合力之后，将原点在合力的方向上位移一定的距离。每当原点位移的方向发生了改变的时候，缩小以后操作的位移距离。例如：上次操作是将原点像 x 轴正方向移动，而当前移动是将原点像 x 轴负方向上移动，这说明原点的横坐标一定在这两次假设的原点的横坐标中间，因此我们缩小以后原点移动的距离。

ac代码

#include <bits/stdc++.h>
#define db double
#define N 1005
using namespace std;
struct node {
    db x, y, w, tot;
}a[N], ans;
int n;
db sqr(db x) {
    return x * x;
}
db dist(node a, node b) {
    return sqrt(sqr(a.x - b.x) + sqr(a.y - b.y));
}
db calc(node p) {
    db res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) 
        res += a[i].w * dist(p, a[i]);
    return res;
}
db Rand() {
    return rand() % 10000 / 10000.0;
}
void SA(db T) {
    node now = ans, nw;
    double delta;
    while (T > 1e-4) {
        nw.x = now.x + T * (2 * Rand() - 1);
        nw.y = now.y + T * (2 * Rand() - 1);
        nw.tot = calc(nw);
        if (nw.tot < now.tot || exp((now.tot - nw.tot) / T) > Rand()) now = nw;
        if (nw.tot < ans.tot) ans = nw;
        T = T * 0.98;
    }
    for (int i = 1; i <= 1500; i ++) {
        nw.x = ans.x + T * (2 * Rand() - 1);
        nw.y = ans.y + T * (2 * Rand() - 1);
        nw.tot = calc(nw);
        if (nw.tot < ans.tot) ans = nw;
    }
}
int main() {
    srand(20040127);
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        scanf("%lf%lf%lf", &a[i].x, &a[i].y, &a[i].w);
        ans.x += a[i].x;
        ans.y += a[i].y;
    }
    ans.x /= n;
    ans.y /= n;
    ans.tot = calc(ans);
    for (int i = 1; i <= 150; i ++) SA(100000);
    printf("%.3lf %.3lf
", ans.x, ans.y);
    return 0;
}